初項が1である2つの無限等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ と $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ がともに収束し、$\sum_{n=1}^{\infty} (a_n + b_n) = \frac{8}{3}$ および $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n = \frac{4}{5}$ が成り立つ。このとき、$\sum_{n=1}^{\infty} (a_n + b_n)^2$ を求めよ。

1. 問題の内容

初項が1である2つの無限等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ と $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ がともに収束し、$\sum_{n=1}^{\infty} (a_n + b_n) = \frac{8}{3}$ および $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n = \frac{4}{5}$ が成り立つ。このとき、$\sum_{n=1}^{\infty} (a_n + b_n)^2$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$a_n = r_1^{n-1}$ 、 $b_n = r_2^{n-1}$ とおく。ここで、$r_1$ と $r_2$ はそれぞれ数列 $a_n$ と $b_n$ の公比である。

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \frac{1}{1 - r_1}$ 、 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n = \frac{1}{1 - r_2}$ となる。

$\sum_{n=1}^{\infty} (a_n + b_n) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n + \sum_{n=1}^{\infty} b_n = \frac{1}{1 - r_1} + \frac{1}{1 - r_2} = \frac{8}{3}$

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n = \sum_{n=1}^{\infty} (r_1 r_2)^{n-1} = \frac{1}{1 - r_1 r_2} = \frac{4}{5}$

したがって、

$\frac{1}{1 - r_1} + \frac{1}{1 - r_2} = \frac{8}{3}$

$\frac{1}{1 - r_1 r_2} = \frac{4}{5}$

$\frac{(1 - r_2) + (1 - r_1)}{(1 - r_1)(1 - r_2)} = \frac{2 - (r_1 + r_2)}{1 - (r_1 + r_2) + r_1 r_2} = \frac{8}{3}$

$1 - r_1 r_2 = \frac{5}{4}$

$r_1 r_2 = 1 - \frac{5}{4} = -\frac{1}{4}$

$\frac{2 - (r_1 + r_2)}{1 - (r_1 + r_2) - \frac{1}{4}} = \frac{2 - (r_1 + r_2)}{\frac{3}{4} - (r_1 + r_2)} = \frac{8}{3}$

$3(2 - (r_1 + r_2)) = 8(\frac{3}{4} - (r_1 + r_2))$

$6 - 3(r_1 + r_2) = 6 - 8(r_1 + r_2)$

$5(r_1 + r_2) = 0$

$r_1 + r_2 = 0$

$r_2 = -r_1$

$r_1 r_2 = -r_1^2 = -\frac{1}{4}$

$r_1^2 = \frac{1}{4}$

$r_1 = \pm \frac{1}{2}$

$r_1 = \frac{1}{2}$ のとき、$r_2 = -\frac{1}{2}$

$r_1 = -\frac{1}{2}$ のとき、$r_2 = \frac{1}{2}$

$\sum_{n=1}^{\infty} (a_n + b_n)^2 = \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + 2a_n b_n + b_n^2) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 + 2\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n + \sum_{n=1}^{\infty} b_n^2$

$= \sum_{n=1}^{\infty} (r_1^2)^{n-1} + 2\sum_{n=1}^{\infty} (r_1 r_2)^{n-1} + \sum_{n=1}^{\infty} (r_2^2)^{n-1} = \frac{1}{1 - r_1^2} + 2\frac{1}{1 - r_1 r_2} + \frac{1}{1 - r_2^2}$

$= \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} + 2(\frac{4}{5}) + \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} + \frac{8}{5} + \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} + \frac{8}{5} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3} + \frac{8}{5} = \frac{40 + 24}{15} = \frac{64}{15}$

3. 最終的な答え

$\frac{64}{15}$