数列の和 $\frac{1}{1+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}} + \frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{13}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{45}+\sqrt{49}}$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列の和 $\frac{1}{1+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}} + \frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{13}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{45}+\sqrt{49}}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

各項の分母を有理化する。各項の分母は $\sqrt{4n-3}+\sqrt{4n+1}$ の形をしているため、分子と分母に $\sqrt{4n-3} - \sqrt{4n+1}$ をかける。

$\frac{1}{\sqrt{4n-3}+\sqrt{4n+1}} = \frac{\sqrt{4n-3} - \sqrt{4n+1}}{(\sqrt{4n-3}+\sqrt{4n+1})(\sqrt{4n-3} - \sqrt{4n+1})} = \frac{\sqrt{4n-3} - \sqrt{4n+1}}{(4n-3)-(4n+1)} = \frac{\sqrt{4n-3} - \sqrt{4n+1}}{-4} = \frac{\sqrt{4n+1} - \sqrt{4n-3}}{4}$

よって、数列の各項は、

$\frac{1}{1+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{9}-\sqrt{5}}{4}$

$\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{13}-\sqrt{9}}{4}$

...

$\frac{1}{\sqrt{45}+\sqrt{49}} = \frac{\sqrt{49}-\sqrt{45}}{4}$

と書き換えることができる。

これらを足し合わせると、

$\frac{\sqrt{5}-1}{4} + \frac{\sqrt{9}-\sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt{13}-\sqrt{9}}{4} + \dots + \frac{\sqrt{49}-\sqrt{45}}{4} = \frac{-\cancel{1}+\cancel{\sqrt{5}} - \cancel{\sqrt{5}}+\cancel{\sqrt{9}} - \cancel{\sqrt{9}} + \dots - \cancel{\sqrt{45}} + \sqrt{49}}{4} = \frac{-1+\sqrt{49}}{4} = \frac{-1+7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$