与えられた三角関数の値を求める問題です。具体的には、$\sin(-15^\circ)$, $\cos(195^\circ)$, $\sin(195^\circ)$, $\cos(165^\circ)$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の値を求める問題です。具体的には、$\sin(-15^\circ)$, $\cos(195^\circ)$, $\sin(195^\circ)$, $\cos(165^\circ)$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

それぞれの三角関数の値を求めるために、加法定理や三角関数の性質を利用します。

(1) $\sin(-15^\circ)$ の場合：

まず、$\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$ の性質を利用します。

$\sin(-15^\circ) = -\sin(15^\circ)$

次に、$\sin(15^\circ)$ を $\sin(45^\circ - 30^\circ)$ として加法定理を利用します。

$\sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(45^\circ)\sin(30^\circ)$

$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$ を代入します。

$\sin(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

よって、$\sin(-15^\circ) = -\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

(2) $\cos(195^\circ)$ の場合：

$\cos(195^\circ) = \cos(180^\circ + 15^\circ)$

$\cos(180^\circ + \theta) = -\cos(\theta)$ の性質を利用します。

$\cos(195^\circ) = -\cos(15^\circ)$

$\cos(15^\circ)$ を $\cos(45^\circ - 30^\circ)$ として加法定理を利用します。

$\cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) + \sin(45^\circ)\sin(30^\circ)$

$\cos(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

よって、$\cos(195^\circ) = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(3) $\sin(195^\circ)$ の場合：

$\sin(195^\circ) = \sin(180^\circ + 15^\circ)$

$\sin(180^\circ + \theta) = -\sin(\theta)$ の性質を利用します。

$\sin(195^\circ) = -\sin(15^\circ)$

$\sin(15^\circ)$ を $\sin(45^\circ - 30^\circ)$ として加法定理を利用します。(上記(1)参照)

$\sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

よって、$\sin(195^\circ) = -\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

(4) $\cos(165^\circ)$ の場合：

$\cos(165^\circ) = \cos(180^\circ - 15^\circ)$

$\cos(180^\circ - \theta) = -\cos(\theta)$ の性質を利用します。

$\cos(165^\circ) = -\cos(15^\circ)$

$\cos(15^\circ)$ を $\cos(45^\circ - 30^\circ)$ として加法定理を利用します。(上記(2)参照)

$\cos(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

よって、$\cos(165^\circ) = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin(-15^\circ) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

(2) $\cos(195^\circ) = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(3) $\sin(195^\circ) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

(4) $\cos(165^\circ) = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$