$(\frac{5}{12})^{20}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ および $\log_{10} 3 = 0.4771$ が与えられています。

1. 問題の内容

$(\frac{5}{12})^{20}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ および $\log_{10} 3 = 0.4771$ が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、$A = (\frac{5}{12})^{20}$ とおきます。両辺の常用対数をとると、

$\log_{10} A = \log_{10} (\frac{5}{12})^{20}$

$\log_{10} A = 20 \log_{10} (\frac{5}{12})$

$\log_{10} A = 20 (\log_{10} 5 - \log_{10} 12)$

ここで、$\log_{10} 5 = \log_{10} (\frac{10}{2}) = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - \log_{10} 2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

また、$\log_{10} 12 = \log_{10} (2^2 \cdot 3) = 2 \log_{10} 2 + \log_{10} 3 = 2(0.3010) + 0.4771 = 0.6020 + 0.4771 = 1.0791$

よって、

$\log_{10} A = 20 (0.6990 - 1.0791) = 20 (-0.3801) = -7.602$

ここで、$\log_{10} A = -7.602 = -8 + 0.398$ と変形します。

この式から、$A = 10^{-8} \cdot 10^{0.398}$ となります。

$10^{0.398}$ は $10^0$ と $10^1$ の間、すなわち $1$ と $10$ の間の数です。

したがって、$A$ は $10^{-8}$ のオーダーであり、小数第8位に初めて0でない数字が現れます。

3. 最終的な答え

小数第8位