関数 $y = x \sin x$ の導関数を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

## 問題3

1. 問題の内容

関数 $y = x \sin x$ の導関数を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

積の微分公式を使います。積の微分公式は $(uv)' = u'v + uv'$ です。

この問題では、$u = x$ と $v = \sin x$ とすると、

$u' = 1$

$v' = \cos x$

したがって、

$y' = (x \sin x)' = (x)' \sin x + x (\sin x)' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \sin x + x \cos x$

## 問題4

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2}{\tan x}$ の導関数を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を書き換えます。

$y = \frac{2}{\tan x} = 2 \cot x$

次に、$y$ を微分します。$\cot x$ の微分は $-\frac{1}{\sin^2 x}$ または $-\csc^2 x$ です。

したがって、

$y' = 2 (\cot x)' = 2 (-\frac{1}{\sin^2 x}) = -\frac{2}{\sin^2 x}$

3. 最終的な答え

(3) $y' = -\frac{2}{\sin^2 x}$