関数 $y = ax^3 - 3ax^2 + b$ ($a \neq 0$) の $1 \le x \le 3$ における最大値が10、最小値が-2となるように、$a$, $b$ の値を定める。

## 337の問題

1. 問題の内容

関数 $y = ax^3 - 3ax^2 + b$ ($a \neq 0$) の $1 \le x \le 3$ における最大値が10、最小値が-2となるように、$a$, $b$ の値を定める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数の導関数を計算します。

$y' = 3ax^2 - 6ax = 3ax(x-2)$

$y'=0$ となるのは、$x=0$または$x=2$のときです。

$1 \le x \le 3$ の範囲で考えるので、$x=2$が極値を与える可能性があります。

次に、$x=1, 2, 3$ での $y$ の値を求めます。

$y(1) = a - 3a + b = -2a + b$

$y(2) = 8a - 12a + b = -4a + b$

$y(3) = 27a - 27a + b = b$

ここで、$a$ の正負によって場合分けをします。

(i) $a > 0$ のとき

$y$ は $x=2$ で極小値をとり、$x=3$で最大値をとります。したがって、$y(3) = b = 10$ が最大値、$y(2) = -4a + b = -2$ が最小値となります。

$-4a + 10 = -2$ より、$4a = 12$, $a = 3$

したがって、$a = 3, b = 10$

(ii) $a < 0$ のとき

$y$ は $x=2$ で極大値をとり、$x=1$で最大値をとります。したがって、$y(1) = -2a + b = 10$ が最大値、$y(3) = b = -2$ が最小値となります。

$-2a - 2 = 10$ より、$-2a = 12$, $a = -6$

したがって、$a = -6, b = -2$

3. 最終的な答え

$a = 3, b = 10$ または $a = -6, b = -2$