関数 $y = \cos^3 x$ の導関数 $y'$ を選択肢の中から選びます。選択肢は以下の通りです。 (1) $y' = 3\cos^2 x \sin x$ (2) $y' = 3\cos^2 x$ (3) $y' = -3\cos^2 x \sin x$ (4) $y' = \sin^3 x$

1. 問題の内容

関数 $y = \cos^3 x$ の導関数 $y'$ を選択肢の中から選びます。選択肢は以下の通りです。

(1) $y' = 3\cos^2 x \sin x$

(2) $y' = 3\cos^2 x$

(3) $y' = -3\cos^2 x \sin x$

(4) $y' = \sin^3 x$

2. 解き方の手順

合成関数の微分法を使います。

$y = \cos^3 x = (\cos x)^3$ と考えます。

$u = \cos x$ とおくと、$y = u^3$ となります。

$\frac{dy}{du} = 3u^2$ であり、$\frac{du}{dx} = -\sin x$ です。

合成関数の微分法より、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ となります。

よって、

$\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot (-\sin x) = 3(\cos x)^2 \cdot (-\sin x) = -3\cos^2 x \sin x$

3. 最終的な答え

したがって、$y' = -3\cos^2 x \sin x$ となります。

選択肢(3)が正しいです。