関数 $y = \arcsin x + \arccos x$ を微分し、正しい微分 $y'$ を選択肢から選びます。

## 問題1

1. 問題の内容

関数 $y = \arcsin x + \arccos x$ を微分し、正しい微分 $y'$ を選択肢から選びます。

2. 解き方の手順

$\arcsin x$ の微分は $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ であり、$\arccos x$ の微分は $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ であることを利用します。したがって、

$y' = \frac{d}{dx}(\arcsin x + \arccos x) = \frac{d}{dx}(\arcsin x) + \frac{d}{dx}(\arccos x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 0$

3. 最終的な答え

(4) $y' = 0$

## 問題2

1. 問題の内容

関数 $y = x \arctan x$ を微分し、正しい微分 $y'$ を選択肢から選びます。

2. 解き方の手順

積の微分法則を使います。積の微分法則とは、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の微分は $(uv)' = u'v + uv'$ で与えられるというものです。

この問題では、$u(x) = x$ と $v(x) = \arctan x$ とします。すると、$u'(x) = 1$ であり、$v'(x) = \frac{1}{1+x^2}$ です。

したがって、

$y' = \frac{d}{dx}(x \arctan x) = (x)' \arctan x + x (\arctan x)' = 1 \cdot \arctan x + x \cdot \frac{1}{1+x^2} = \arctan x + \frac{x}{1+x^2}$

3. 最終的な答え

(3) $y' = \frac{x}{1+x^2} + \arctan x$