(1) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \log(1 + \frac{1}{n})$ が発散することを示す。 (2) 無限級数 $\sum_{n=2}^{\infty} \log(1 + \frac{1}{n^2 - 1})$ が収束することを示し、その級数の和を求める。

1. 問題の内容

(1) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \log(1 + \frac{1}{n})$ が発散することを示す。

(2) 無限級数 $\sum_{n=2}^{\infty} \log(1 + \frac{1}{n^2 - 1})$ が収束することを示し、その級数の和を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \log(1 + \frac{1}{n})$ の発散を示す。

$\log(1 + \frac{1}{n}) = \log(\frac{n+1}{n}) = \log(n+1) - \log(n)$

部分和 $S_N = \sum_{n=1}^{N} \log(1 + \frac{1}{n}) = \sum_{n=1}^{N} (\log(n+1) - \log(n))$

$S_N = (\log 2 - \log 1) + (\log 3 - \log 2) + \cdots + (\log (N+1) - \log N) = \log(N+1) - \log 1 = \log(N+1)$

$\lim_{N \to \infty} S_N = \lim_{N \to \infty} \log(N+1) = \infty$

したがって、$\sum_{n=1}^{\infty} \log(1 + \frac{1}{n})$ は発散する。

(2) $\sum_{n=2}^{\infty} \log(1 + \frac{1}{n^2 - 1})$ の収束を示す。

$\log(1 + \frac{1}{n^2 - 1}) = \log(\frac{n^2}{n^2 - 1}) = \log(\frac{n^2}{(n-1)(n+1)}) = \log(\frac{n}{n-1} \cdot \frac{n}{n+1}) = \log(\frac{n}{n-1}) + \log(\frac{n}{n+1}) = 2\log n - \log(n-1) - \log(n+1)$

部分和 $S_N = \sum_{n=2}^{N} (2\log n - \log(n-1) - \log(n+1))$

$S_N = (2\log 2 - \log 1 - \log 3) + (2\log 3 - \log 2 - \log 4) + (2\log 4 - \log 3 - \log 5) + \cdots + (2\log (N-1) - \log(N-2) - \log N) + (2\log N - \log(N-1) - \log(N+1))$

$S_N = \log 2 - \log(N+1) + \log N = \log 2 + \log(\frac{N}{N+1})$

$\lim_{N \to \infty} S_N = \lim_{N \to \infty} (\log 2 + \log(\frac{N}{N+1})) = \log 2 + \log(\lim_{N \to \infty} \frac{N}{N+1}) = \log 2 + \log 1 = \log 2 + 0 = \log 2$

したがって、$\sum_{n=2}^{\infty} \log(1 + \frac{1}{n^2 - 1})$ は収束し、その和は $\log 2$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \log(1 + \frac{1}{n})$ は発散する。

(2) $\sum_{n=2}^{\infty} \log(1 + \frac{1}{n^2 - 1})$ は収束し、その和は $\log 2$ である。