関数 $y = \log_2 x$ の $x$ の範囲が $\frac{1}{4} < x \le 2\sqrt{2}$ のとき、$y$ の値域を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_2 x$ の $x$ の範囲が $\frac{1}{4} < x \le 2\sqrt{2}$ のとき、$y$ の値域を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ の範囲の端点における $y$ の値を計算します。

$x = \frac{1}{4}$ のとき、

$$y = \log_2 \frac{1}{4} = \log_2 2^{-2} = -2$$

$x = 2\sqrt{2}$ のとき、

$$y = \log_2 2\sqrt{2} = \log_2 (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) = \log_2 2^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}$$

$\log_2 x$ は $x$ が増加するとともに増加する関数（増加関数）なので、$x$ が $\frac{1}{4} < x \le 2\sqrt{2}$ の範囲にあるとき、$y$ は $-2 < y \le \frac{3}{2}$ の範囲にあります。

3. 最終的な答え

$-2 < y \le \frac{3}{2}$