0 ≤ θ < 2π の範囲で、次の三角関数に関する方程式と不等式を解きます。 (1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (2) $2 \cos \theta + \sqrt{2} > 0$ (3) $-1 < \tan \theta < \sqrt{3}$ (4) $\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$ (5) $\cos(2\theta - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ (6) $\tan(2\theta + \frac{\pi}{3}) \geq -\frac{1}{\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

0 ≤ θ < 2π の範囲で、次の三角関数に関する方程式と不等式を解きます。

(1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $2 \cos \theta + \sqrt{2} > 0$

(3) $-1 < \tan \theta < \sqrt{3}$

(4) $\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$

(5) $\cos(2\theta - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

(6) $\tan(2\theta + \frac{\pi}{3}) \geq -\frac{1}{\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる θ は、単位円上で y 座標が $\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる点に対応します。

0 ≤ θ < 2π の範囲で、これに該当する θ は $\frac{\pi}{3}$ と $\frac{2\pi}{3}$ です。

(2) $2 \cos \theta + \sqrt{2} > 0$

$2 \cos \theta > -\sqrt{2}$

$\cos \theta > -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos \theta > -\frac{1}{\sqrt{2}}$

単位円上で x 座標が $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ より大きくなる θ の範囲を求めます。

$-\frac{1}{\sqrt{2}}$ に対応する θ は $\frac{3\pi}{4}$ と $\frac{5\pi}{4}$ なので、$\theta$ の範囲は $0 \leq \theta < \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} < \theta < 2\pi$ となります。

(3) $-1 < \tan \theta < \sqrt{3}$

$-1 < \tan \theta$ かつ $\tan \theta < \sqrt{3}$ を満たす $\theta$ を求めます。

$\tan \theta = -1$ となるのは $\theta = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ のときで、$\tan \theta = \sqrt{3}$ となるのは $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$ のときです。

$\tan \theta$ は $\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ で定義されないので、これらの点を除外して範囲を考えます。

$\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{4}, \frac{3\pi}{2} < \theta < \frac{4\pi}{3}$ および $0 \le \theta < \frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} < \theta < \frac{4\pi}{3}, \frac{7\pi}{4} < \theta < 2\pi$を満たす$\theta$を求めます。

(4) $\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\alpha = \theta + \frac{\pi}{4}$ とおくと、$\sin \alpha \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$ となります。

$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは $\alpha = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$ のときです。

$\sin \alpha \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\alpha$ の範囲は $0 \leq \alpha \leq \frac{\pi}{3}$ と $\frac{2\pi}{3} \leq \alpha \leq 2\pi$

または $\sin \alpha \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす範囲は、$\frac{2\pi}{3} \le \alpha \le \frac{7\pi}{3}$, または $\frac{1\pi}{3} \le \alpha \le 2\pi$ です。

$\alpha = \theta + \frac{\pi}{4}$ なので、$\frac{2\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{10\pi}{3}$

$\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \leq \theta \leq 2\pi + \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$

$\frac{8\pi - 3\pi}{12} \le \theta \le 2\pi + \frac{4\pi -3\pi}{12}$

$\frac{5\pi}{12} \le \theta \le \frac{25\pi}{12}$

0≤ θ < 2π なので、$\frac{5\pi}{12} \le \theta \le 2\pi$.

$\theta + \frac{\pi}{4} \ge \frac{2\pi}{3}$

$\theta + \frac{\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$ の時、$\theta = 2\pi + \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{24\pi + 4\pi - 3\pi}{12} = \frac{25\pi}{12} = 2\pi + \frac{\pi}{12}$

$0 \leq \theta < 2\pi$ の制約があるので、$\alpha$ が $\frac{\pi}{3}$ 以下になる場合を考える必要があります。$\theta+\frac{\pi}{4} =0$のとき $\theta = -\frac{\pi}{4}$ なので除外されます。

また、$2\pi \le \theta + \frac{\pi}{4}$の範囲も考慮する必要があります。 $\theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{2\pi}{3}$.

$\theta \leq \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{12}$ は除外します。

θの範囲は $\frac{5\pi}{12} \le \theta \le \frac{25\pi}{12}$ となるため、最終的な$\theta$の範囲は $\frac{5\pi}{12} \le \theta \le 2\pi$.

$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{3}, \theta= \frac{5\pi}{12}$

$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{10\pi}{3}, \theta= \frac{37\pi}{12}$

5π/12<=θ<=2π

(5) $\cos(2\theta - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$\alpha = 2\theta - \frac{\pi}{3}$ とおくと、$\cos \alpha = \frac{1}{2}$ となります。

$\cos \alpha = \frac{1}{2}$ となる $\alpha$ は $\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ です。

$2\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} \implies 2\theta = \frac{2\pi}{3} \implies \theta = \frac{\pi}{3}$

$2\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} \implies 2\theta = \frac{6\pi}{3} \implies \theta = \pi$

$\cos \alpha = \frac{1}{2}$ となる $\alpha$ は一般的に $\alpha = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$ です。

$2\theta - \frac{\pi}{3} = 2n\pi + \frac{\pi}{3} \implies 2\theta = 2n\pi + \frac{2\pi}{3} \implies \theta = n\pi + \frac{\pi}{3}$

$2\theta - \frac{\pi}{3} = 2n\pi - \frac{\pi}{3} \implies 2\theta = 2n\pi \implies \theta = n\pi$

$0 \leq \theta < 2\pi$ なので、

$\theta = \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}, 0, \pi$

$\theta = 0, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}$

(6) $\tan(2\theta + \frac{\pi}{3}) \geq -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\alpha = 2\theta + \frac{\pi}{3}$ とおくと、$\tan \alpha \geq -\frac{1}{\sqrt{3}}$ となります。

$\tan \alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ となる $\alpha$ は $\frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$ です。

$-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$ で $\tan \alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ となるのは $\alpha = -\frac{\pi}{6}$です。

$\tan \alpha$ は周期 $\pi$ なので、$\alpha = n\pi - \frac{\pi}{6}$ です。

$\alpha = 2\theta + \frac{\pi}{3}$ より、 $2\theta + \frac{\pi}{3} \geq n\pi - \frac{\pi}{6}$

$2\theta \geq n\pi - \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = n\pi - \frac{\pi}{2}$

$\theta \geq \frac{n\pi}{2} - \frac{\pi}{4}$

$0 \leq \theta < 2\pi$ を考慮すると、

$n=0 \implies \theta \geq -\frac{\pi}{4} \implies \theta \geq 0$

$n=1 \implies \theta \geq \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$

$n=2 \implies \theta \geq \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

$n=3 \implies \theta \geq \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$

$n=4 \implies \theta \geq 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$

$\tan \alpha$ は $\frac{\pi}{2} + n\pi$ で定義されないので、これらを考慮して範囲を決定する必要があります。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

(2) $0 \leq \theta < \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} < \theta < 2\pi$

(3) $0 \le \theta < \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{4}, \pi \leq \theta < \frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2} < \theta < \frac{7\pi}{4}$

(4) $\frac{5\pi}{12} \le \theta \le 2\pi$

(5) $\theta = 0, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}$

(6) $\theta = \frac{n\pi}{2} - \frac{\pi}{4}$