$n$ を自然数とする。曲線 $C: y = x^2 - n$ と $x$ 軸が囲む領域内にある、$x$ 座標と $y$ 座標がともに整数であるような点の総数を $a_n$ とする。ただし、曲線 $C$ 上の点および $x$ 軸上の点も含むとする。$n^{\frac{1}{2}}$ を超えない最大の整数を $m_n$ とおくとき、以下の問いに答えよ。 (1) $a_n$ を $n$ と $m_n$ で表せ。 (2) $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n^{\frac{3}{2}}}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とする。曲線 $C: y = x^2 - n$ と $x$ 軸が囲む領域内にある、$x$ 座標と $y$ 座標がともに整数であるような点の総数を $a_n$ とする。ただし、曲線 $C$ 上の点および $x$ 軸上の点も含むとする。$n^{\frac{1}{2}}$ を超えない最大の整数を $m_n$ とおくとき、以下の問いに答えよ。

(1) $a_n$ を $n$ と $m_n$ で表せ。

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n^{\frac{3}{2}}}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = x^2 - n$ と $x$ 軸との交点を求める。$x^2 - n = 0$ より、$x = \pm \sqrt{n}$。

したがって、領域内の $x$ 座標の範囲は $-\sqrt{n} \le x \le \sqrt{n}$ となる。

$x$ は整数なので、$-m_n \le x \le m_n$。

次に、各 $x$ について、$y$ の範囲を考える。$x$ が与えられたとき、$x^2 - n \le y \le 0$。$y$ も整数なので、$x^2 - n$ 以上の最小の整数から $0$ までの整数を数える。

よって、

$a_n = \sum_{x = -m_n}^{m_n} (0 - (x^2 - n) + 1) = \sum_{x = -m_n}^{m_n} (n - x^2 + 1) = \sum_{x = -m_n}^{m_n} (n+1) - \sum_{x = -m_n}^{m_n} x^2$

$= (n+1)(2m_n+1) - 2\sum_{x=1}^{m_n} x^2 = (n+1)(2m_n+1) - 2 \cdot \frac{m_n(m_n+1)(2m_n+1)}{6}$

$= (n+1)(2m_n+1) - \frac{m_n(m_n+1)(2m_n+1)}{3}$

$= (2m_n+1)(n+1-\frac{m_n(m_n+1)}{3})$

$= (2m_n+1)(n+1-\frac{m_n^2+m_n}{3})$

$= (2m_n+1)(\frac{3n+3-m_n^2-m_n}{3})$

$a_n = \frac{2m_n+1}{3}(3n - m_n^2 - m_n + 3)$

(2)

$m_n = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$ より、$m_n \le \sqrt{n} < m_n+1$。したがって、$m_n^2 \le n < (m_n+1)^2$。$n \to \infty$ のとき、$m_n \to \infty$ である。

$\lim_{n \to \infty} \frac{m_n}{\sqrt{n}} = 1$。

$\frac{a_n}{n^{\frac{3}{2}}} = \frac{2m_n+1}{3 n^{\frac{3}{2}}}(3n - m_n^2 - m_n + 3) = \frac{2m_n+1}{3 n^{\frac{3}{2}}} (3n - m_n^2 - m_n + 3)$

$= \frac{2m_n}{3 n^{\frac{3}{2}}} (3n - m_n^2 - m_n + 3) + \frac{1}{3 n^{\frac{3}{2}}} (3n - m_n^2 - m_n + 3)$

$\lim_{n \to \infty} \frac{m_n}{\sqrt{n}} = 1$ であるから、$\frac{m_n}{n^{1/2}} \to 1$。

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n^{3/2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3/2}} \cdot \frac{2m_n}{3} (3n-m_n^2-m_n) = \frac{2}{3} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3/2}} \sqrt{n}(3n-n) = \frac{2}{3} \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{n} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{2m_n+1}{3}(3n - m_n^2 - m_n + 3)$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n^{\frac{3}{2}}} = \frac{4}{3}$