関数 $f(x) = \frac{a\sin x}{\cos x + 2}$ において、$0 \le x \le \pi$ の範囲での最大値が $\sqrt{3}$ となるように、定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{a\sin x}{\cos x + 2}$ において、$0 \le x \le \pi$ の範囲での最大値が $\sqrt{3}$ となるように、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\sin x$ および $\cos x$ の範囲を考える。$0 \le x \le \pi$ より、$0 \le \sin x \le 1$ かつ $-1 \le \cos x \le 1$ である。

$f(x)$ は $0 \le x \le \pi$ で連続である。次に、$f(x)$ の最大値を考える。

$\cos x + 2$ は常に正であるから、$f(x)$ の符号は $a\sin x$ の符号で決まる。

$a>0$のとき、$f(x)$は$\sin x > 0$で正の値をとるので、$\sin x = 1$となる$x=\frac{\pi}{2}$で最大値をとる可能性がある。

$x = \frac{\pi}{2}$のとき、$\cos x = 0$、$\sin x = 1$であるから、$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{a}{2}$となる。これが$\sqrt{3}$と等しくなる場合を考えると、

$\frac{a}{2} = \sqrt{3}$より$a = 2\sqrt{3}$が得られる。

$a<0$のとき、$f(x)$は$\sin x > 0$で負の値をとるので、$f(x)$の最大値は$x=0$もしくは$x=\pi$でとる。このとき$\sin x = 0$なので、$f(x)=0$となる。これは$\sqrt{3}$と等しくならない。

よって、$a>0$であることが必要である。

次に，$f'(x)$を計算し、$f'(x)=0$となる$x$の値を求める。

$f'(x) = \frac{a\cos x(\cos x+2) - a\sin x(-\sin x)}{(\cos x + 2)^2} = \frac{a(\cos^2 x + 2\cos x + \sin^2 x)}{(\cos x + 2)^2} = \frac{a(\cos x + 2)}{(\cos x + 2)^2} = \frac{a}{\cos x + 2}$

$0 \le x \le \pi$において、$\cos x + 2 > 0$ なので、$f'(x) > 0$ であり、$f(x)$ は単調増加である。

したがって、$f(x)$ は $x = \frac{\pi}{2}$で最大値をとる。

$f(\frac{\pi}{2}) = \frac{a\sin(\frac{\pi}{2})}{\cos(\frac{\pi}{2})+2} = \frac{a \cdot 1}{0 + 2} = \frac{a}{2}$

最大値が $\sqrt{3}$ であるから、

$\frac{a}{2} = \sqrt{3}$

$a = 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$a = 2\sqrt{3}$