以下の3つの等式を満たす関数 $f(x)$ を求めます。 (1) $f(x) = x + \int_{0}^{3} f(t) dt$ (2) $f(x) = 1 + \int_{0}^{1} (x-t) f(t) dt$ (3) $\int_{a}^{x} f(t) dt = x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x$

はい、承知いたしました。以下の形式で解答します。

1. 問題の内容

以下の3つの等式を満たす関数 $f(x)$ を求めます。

(1) $f(x) = x + \int_{0}^{3} f(t) dt$

(2) $f(x) = 1 + \int_{0}^{1} (x-t) f(t) dt$

(3) $\int_{a}^{x} f(t) dt = x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x$

2. 解き方の手順

(1)

$\int_{0}^{3} f(t) dt$ は定数なので、これを $A$ とおきます。

$f(x) = x + A$

この式を積分して

$\int_{0}^{3} f(t) dt = \int_{0}^{3} (t + A) dt = [\frac{1}{2}t^2 + At]_{0}^{3} = \frac{9}{2} + 3A$

$\int_{0}^{3} f(t) dt = A$ とおいたので

$A = \frac{9}{2} + 3A$

$-2A = \frac{9}{2}$

$A = -\frac{9}{4}$

よって

$f(x) = x - \frac{9}{4}$

(2)

$\int_{0}^{1} (x-t) f(t) dt = \int_{0}^{1} x f(t) dt - \int_{0}^{1} t f(t) dt = x \int_{0}^{1} f(t) dt - \int_{0}^{1} t f(t) dt$

$\int_{0}^{1} f(t) dt = A$, $\int_{0}^{1} t f(t) dt = B$ とおくと

$f(x) = 1 + Ax - B$

$\int_{0}^{1} f(t) dt = \int_{0}^{1} (1 + At - B) dt = [t + \frac{1}{2}At^2 - Bt]_{0}^{1} = 1 + \frac{1}{2}A - B$

$\int_{0}^{1} f(t) dt = A$ とおいたので

$A = 1 + \frac{1}{2}A - B$

$\frac{1}{2}A + B = 1$

$\int_{0}^{1} t f(t) dt = \int_{0}^{1} t (1 + At - B) dt = \int_{0}^{1} (t + At^2 - Bt) dt = [\frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{3}At^3 - \frac{1}{2}Bt^2]_{0}^{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}A - \frac{1}{2}B$

$\int_{0}^{1} t f(t) dt = B$ とおいたので

$B = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}A - \frac{1}{2}B$

$\frac{3}{2}B - \frac{1}{3}A = \frac{1}{2}$

$9B - 2A = 3$

$9B = 3 + 2A$

$B = \frac{3 + 2A}{9}$

$\frac{1}{2}A + \frac{3 + 2A}{9} = 1$

$\frac{9A + 6 + 4A}{18} = 1$

$13A + 6 = 18$

$13A = 12$

$A = \frac{12}{13}$

$B = \frac{3 + 2(\frac{12}{13})}{9} = \frac{39 + 24}{117} = \frac{63}{117} = \frac{7}{13}$

よって

$f(x) = 1 + \frac{12}{13}x - \frac{7}{13} = \frac{13 + 12x - 7}{13} = \frac{12x + 6}{13}$

(3)

$\int_{a}^{x} f(t) dt = x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x$

両辺を $x$ で微分すると

$f(x) = 4x^3 - 12x^2 + 10x - 2$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = x - \frac{9}{4}$

(2) $f(x) = \frac{12x + 6}{13}$

(3) $f(x) = 4x^3 - 12x^2 + 10x - 2$