数列 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \dots$ の初項から第800項までの和を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \dots$ の初項から第800項までの和を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、この数列の規則性を見つけます。分母が $n$ である項の数は $n-1$ 個です。

分母が $n$ までの項の総数は、

$$1 + 2 + 3 + \dots + (n-1) = \frac{n(n-1)}{2}$$

で与えられます。

$n$ までの項の総和が800に最も近いものを探します。つまり、

$\frac{n(n-1)}{2} \le 800$ となる最大の $n$ を探します。

$n(n-1) \le 1600$

$n^2 - n - 1600 \le 0$

$n$ が40の場合、$40 \times 39 = 1560$

$n$ が41の場合、$41 \times 40 = 1640$

したがって、$n = 40$ のとき、$\frac{40 \times 39}{2} = 780$ となります。

つまり、分母が40までの項の総数は780です。

したがって、第800項は分母が41の項です。第800項は、分母が41の数列の中で $800 - 780 = 20$ 番目の項、つまり$\frac{20}{41}$です。

初項から第780項までの和は、

$$\sum_{k=2}^{40} \sum_{i=1}^{k-1} \frac{i}{k} = \sum_{k=2}^{40} \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k-1} i = \sum_{k=2}^{40} \frac{1}{k} \frac{(k-1)k}{2} = \sum_{k=2}^{40} \frac{k-1}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=2}^{40} (k-1)$$

$$= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{39} k = \frac{1}{2} \frac{39 \times 40}{2} = \frac{1}{2} \times 39 \times 20 = 390$$

第781項から第800項までの和は、

$$\sum_{i=1}^{20} \frac{i}{41} = \frac{1}{41} \sum_{i=1}^{20} i = \frac{1}{41} \frac{20 \times 21}{2} = \frac{1}{41} \times 10 \times 21 = \frac{210}{41}$$

したがって、初項から第800項までの和は、

$$390 + \frac{210}{41} = \frac{390 \times 41 + 210}{41} = \frac{15990 + 210}{41} = \frac{16200}{41}$$

3. 最終的な答え

$\frac{16200}{41}$