放物線 $y = x^2 - 6x + 7$ と、この放物線上の点 $(4, -1)$ および $(0, 7)$ における接線で囲まれた図形の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 6x + 7$ と、この放物線上の点 $(4, -1)$ および $(0, 7)$ における接線で囲まれた図形の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 各点における接線を求める。

放物線 $y = x^2 - 6x + 7$ を微分すると、

$y' = 2x - 6$

点 $(4, -1)$ における接線の傾きは $y'(4) = 2(4) - 6 = 2$ であるから、接線の方程式は

$y - (-1) = 2(x - 4)$

$y = 2x - 8 - 1$

$y = 2x - 9$

点 $(0, 7)$ における接線の傾きは $y'(0) = 2(0) - 6 = -6$ であるから、接線の方程式は

$y - 7 = -6(x - 0)$

$y = -6x + 7$

(2) 2つの接線の交点の座標を求める。

$2x - 9 = -6x + 7$

$8x = 16$

$x = 2$

$y = 2(2) - 9 = -5$

したがって、2つの接線の交点の座標は $(2, -5)$

(3) 求める面積を計算する。

放物線 $y = x^2 - 6x + 7$ と、点 $(4, -1)$ および $(0, 7)$ における接線 $y = 2x - 9$ および $y = -6x + 7$ で囲まれた図形の面積を求める。

求める面積は、

$\int_0^4 (x^2 - 6x + 7) dx - \int_0^2 (-6x + 7) dx - \int_2^4 (2x - 9) dx$

または、

$\int_0^4 \{(x^2 - 6x + 7) - (2x - 9)\} dx - \int_0^2 \{(2x - 9) - (-6x + 7)\} dx$

などと計算できるが、計算が大変なので、$\frac{1}{6} |a| (\beta - \alpha)^3$ の公式を利用する。

放物線と接線で囲まれた面積を求める公式を用いる。

$y = x^2 - 6x + 7$ と $y = 2x - 9$ で囲まれた面積を $S_1$ とする。

$x^2 - 6x + 7 = 2x - 9$

$x^2 - 8x + 16 = 0$

$(x - 4)^2 = 0$

$x = 4$ (接点)

$S_1 = \int_0^4 \{(x^2 - 6x + 7) - (2x - 9) \} dx = \int_0^4 (x^2 - 8x + 16) dx = \int_0^4 (x-4)^2 dx = \left[ \frac{1}{3} (x-4)^3 \right]_0^4 = 0 - \frac{1}{3} (-4)^3 = \frac{64}{3}$

$S_1 = \frac{1}{6} |1| |4-4|^3 = 0$ (間違い)

$y = x^2 - 6x + 7$ と $y = -6x + 7$ で囲まれた面積を $S_2$ とする。

$x^2 - 6x + 7 = -6x + 7$

$x^2 = 0$

$x = 0$ (接点)

$S_2 = \int_0^0 \{(x^2 - 6x + 7) - (-6x + 7) \} dx = \int_0^0 x^2 dx = 0$ (間違い)

$S = \frac{|(4-0)^3|}{6} = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}$

面積は $\frac{32}{3} - 4 = \frac{20}{3}$

$S = \int_0^4 (x^2-6x+7 - (2x-9))dx + \int_0^4 (x^2-6x+7 - (-6x+7)) dx$

$S = \int_0^4 (x^2-8x+16)dx = (\frac{1}{3}x^3 - 4x^2 + 16x)|_0^4 = \frac{64}{3} - 64 + 64 = \frac{64}{3} = 21 \frac{1}{3}$

求める面積は $\frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

4/3