与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の4つの関数を微分します。 (5) $y = \log_a(\sin x)$ (6) $y = \log(1-\cos x)$ (7) $y = \log_a(x+\sqrt{x^2-a^2})$ (8) $y = \log \frac{x^2-b}{x^2+b}$ ここで、$a$と$b$は定数であり、$a>0$、$a \neq 1$です。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。具体的には、以下の4つの関数を微分します。

(5) $y = \log_a(\sin x)$

(6) $y = \log(1-\cos x)$

(7) $y = \log_a(x+\sqrt{x^2-a^2})$

(8) $y = \log \frac{x^2-b}{x^2+b}$

ここで、$a$と$b$は定数であり、$a>0$、$a \neq 1$です。

2. 解き方の手順

(5) $y = \log_a(\sin x)$

合成関数の微分を行います。$\frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{x \ln a}$と$\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$を利用します。

$y' = \frac{d}{dx} \log_a(\sin x) = \frac{1}{\sin x \ln a} \cdot \frac{d}{dx} \sin x = \frac{\cos x}{\sin x \ln a} = \frac{\cot x}{\ln a}$

(6) $y = \log(1-\cos x)$

ここで、$\log$は常用対数、つまり底が10の対数であると仮定します。

合成関数の微分を行います。$\frac{d}{dx} \log x = \frac{1}{x \ln 10}$と$\frac{d}{dx} \cos x = -\sin x$を利用します。

$y' = \frac{d}{dx} \log(1-\cos x) = \frac{1}{(1-\cos x) \ln 10} \cdot \frac{d}{dx} (1-\cos x) = \frac{\sin x}{(1-\cos x) \ln 10}$

(7) $y = \log_a(x+\sqrt{x^2-a^2})$

合成関数の微分を行います。$\frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{x \ln a}$と$\frac{d}{dx} \sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$を利用します。

$y' = \frac{1}{(x+\sqrt{x^2-a^2})\ln a} \cdot \frac{d}{dx} (x+\sqrt{x^2-a^2}) = \frac{1}{(x+\sqrt{x^2-a^2})\ln a} \cdot (1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2-a^2}}) = \frac{1}{(x+\sqrt{x^2-a^2})\ln a} \cdot (1+\frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}}) = \frac{1}{(x+\sqrt{x^2-a^2})\ln a} \cdot \frac{\sqrt{x^2-a^2}+x}{\sqrt{x^2-a^2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2} \ln a}$

(8) $y = \log \frac{x^2-b}{x^2+b}$

ここで、$\log$は常用対数、つまり底が10の対数であると仮定します。

対数の性質を用いて、 $y = \log(x^2-b) - \log(x^2+b)$と変形します。

$y' = \frac{2x}{(x^2-b) \ln 10} - \frac{2x}{(x^2+b) \ln 10} = \frac{2x}{\ln 10} (\frac{1}{x^2-b} - \frac{1}{x^2+b}) = \frac{2x}{\ln 10} \cdot \frac{x^2+b - (x^2-b)}{(x^2-b)(x^2+b)} = \frac{2x}{\ln 10} \cdot \frac{2b}{(x^2-b)(x^2+b)} = \frac{4bx}{\ln 10(x^4-b^2)}$

3. 最終的な答え

(5) $y' = \frac{\cot x}{\ln a}$

(6) $y' = \frac{\sin x}{(1-\cos x) \ln 10}$

(7) $y' = \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2} \ln a}$

(8) $y' = \frac{4bx}{\ln 10 (x^4 - b^2)}$