与えられた三角関数の値を求める問題です。 (1) $\tan 165^\circ$ の値を求める。 (2) $\tan (-75^\circ)$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の値を求める問題です。

(1) $\tan 165^\circ$ の値を求める。

(2) $\tan (-75^\circ)$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\tan 165^\circ$ の場合：

165°を45°と120°の和として考えます。

$\tan (165^\circ) = \tan (120^\circ + 45^\circ)$

タンジェントの加法定理を利用します。

$\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$

$\tan 120^\circ = -\sqrt{3}$

$\tan 45^\circ = 1$

$\tan (120^\circ + 45^\circ) = \frac{-\sqrt{3} + 1}{1 - (-\sqrt{3})(1)} = \frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$

分母を有理化するために、分母・分子に $1-\sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}} = \frac{(1-\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{1 - 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{-2} = -2 + \sqrt{3}$

(2) $\tan (-75^\circ)$ の場合：

$\tan (-75^\circ) = - \tan (75^\circ)$

$75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$

$\tan (75^\circ) = \tan (45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 30^\circ}$

$\tan 45^\circ = 1$

$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\tan (75^\circ) = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$

分母を有理化するために、分母・分子に $\sqrt{3} + 1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$

$\tan (-75^\circ) = - \tan (75^\circ) = -(2 + \sqrt{3}) = -2 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\tan 165^\circ = -2 + \sqrt{3}$

(2) $\tan (-75^\circ) = -2 - \sqrt{3}$