関数 $f(x)$ と $g(x)$ が以下の関係式を満たすとき、$f(x)$ と $g(x)$ を求めます。 $f(x) = x^2 + \int_{0}^{1} g(t) dt$ $g(x) = 2x^2 - \int_{0}^{1} f(t) dt$

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ と $g(x)$ が以下の関係式を満たすとき、$f(x)$ と $g(x)$ を求めます。

$f(x) = x^2 + \int_{0}^{1} g(t) dt$

$g(x) = 2x^2 - \int_{0}^{1} f(t) dt$

2. 解き方の手順

まず、$A = \int_{0}^{1} g(t) dt$ および $B = \int_{0}^{1} f(t) dt$ とおきます。これらは定数です。

すると、与えられた式は以下のように書き換えられます。

$f(x) = x^2 + A$

$g(x) = 2x^2 - B$

次に、$A$ と $B$ を求めるために、これらの式を積分します。

$A = \int_{0}^{1} g(t) dt = \int_{0}^{1} (2t^2 - B) dt = \left[\frac{2}{3}t^3 - Bt\right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - B$

$B = \int_{0}^{1} f(t) dt = \int_{0}^{1} (t^2 + A) dt = \left[\frac{1}{3}t^3 + At\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} + A$

これらの式から $A$ と $B$ を求めます。

$A = \frac{2}{3} - B$

$B = \frac{1}{3} + A$

$B = \frac{1}{3} + (\frac{2}{3} - B)$

$2B = 1$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{2}{3} - B = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6}$

したがって、$A = \frac{1}{6}$ と $B = \frac{1}{2}$ が求まりました。

これらを $f(x)$ と $g(x)$ の式に代入します。

$f(x) = x^2 + A = x^2 + \frac{1}{6}$

$g(x) = 2x^2 - B = 2x^2 - \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$f(x) = x^2 + \frac{1}{6}$

$g(x) = 2x^2 - \frac{1}{2}$