以下の3つの関数について、微分 $y'$ を求めます。 (6) $y = \log(1-\cos x)$ (7) $y = \log_a(x+\sqrt{x^2-a^2})$ (8) $y = \log \frac{x^2-b}{x^2+b}$

はい、承知いたしました。与えられた問題について、微分を計算します。

1. 問題の内容

以下の3つの関数について、微分 $y'$ を求めます。

(6) $y = \log(1-\cos x)$

(7) $y = \log_a(x+\sqrt{x^2-a^2})$

(8) $y = \log \frac{x^2-b}{x^2+b}$

2. 解き方の手順

(6) $y = \log(1-\cos x)$ の微分

合成関数の微分を行います。$\log$ は底が10の常用対数と解釈します。

$\frac{d}{dx}\log u = \frac{1}{u \log 10} \frac{du}{dx}$ を用います。

$y' = \frac{1}{(1-\cos x) \log 10} \cdot \frac{d}{dx}(1-\cos x)$

$y' = \frac{\sin x}{(1-\cos x) \log 10}$

(7) $y = \log_a(x+\sqrt{x^2-a^2})$ の微分

$\frac{d}{dx} \log_a u = \frac{1}{u \log a} \frac{du}{dx}$ を用います。

$y' = \frac{1}{(x+\sqrt{x^2-a^2}) \log a} \cdot \frac{d}{dx}(x+\sqrt{x^2-a^2})$

$\frac{d}{dx} \sqrt{x^2-a^2} = \frac{1}{2\sqrt{x^2-a^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}}$

$y' = \frac{1}{(x+\sqrt{x^2-a^2}) \log a} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}})$

$y' = \frac{1}{(x+\sqrt{x^2-a^2}) \log a} \cdot \frac{\sqrt{x^2-a^2}+x}{\sqrt{x^2-a^2}}$

$y' = \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2} \log a}$

(8) $y = \log \frac{x^2-b}{x^2+b}$ の微分

$\log$ の性質を用いて変形します。

$y = \log(x^2-b) - \log(x^2+b)$

$\frac{d}{dx}\log u = \frac{1}{u \log 10} \frac{du}{dx}$ を用います。

$y' = \frac{2x}{(x^2-b) \log 10} - \frac{2x}{(x^2+b) \log 10}$

$y' = \frac{2x}{\log 10}(\frac{1}{x^2-b} - \frac{1}{x^2+b})$

$y' = \frac{2x}{\log 10} \cdot \frac{x^2+b-(x^2-b)}{(x^2-b)(x^2+b)}$

$y' = \frac{2x}{\log 10} \cdot \frac{2b}{x^4-b^2}$

$y' = \frac{4bx}{(x^4-b^2) \log 10}$

3. 最終的な答え

(6) $y' = \frac{\sin x}{(1-\cos x) \log 10}$

(7) $y' = \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2} \log a}$

(8) $y' = \frac{4bx}{(x^4-b^2) \log 10}$