定積分 $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2 + 3}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2 + 3}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x = \sqrt{3} \tan \theta$ と置換します。

このとき、$dx = \frac{\sqrt{3}}{\cos^2 \theta} d\theta$ となります。

また、$x=0$ のとき、$\tan \theta = 0$ なので $\theta = 0$ です。

$x=\sqrt{3}$ のとき、$\tan \theta = 1$ なので $\theta = \frac{\pi}{4}$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2 + 3} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\frac{\sqrt{3}}{\cos^2 \theta}}{3 \tan^2 \theta + 3} d\theta$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\frac{\sqrt{3}}{\cos^2 \theta}}{3(\tan^2 \theta + 1)} d\theta$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\frac{\sqrt{3}}{\cos^2 \theta}}{3 \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta}} d\theta$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{3}}{3} d\theta$

$= \frac{\sqrt{3}}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} d\theta$

$= \frac{\sqrt{3}}{3} [\theta]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$

$= \frac{\sqrt{3}}{3} (\frac{\pi}{4} - 0)$

$= \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\pi}{4}$

$= \frac{\pi \sqrt{3}}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi \sqrt{3}}{12}$