与えられた置換を用いて、不定積分 $\int \frac{x+2}{\sqrt{2x-1}} dx$ を求めます。ここで、置換は $2x-1=t$ です。

1. 問題の内容

与えられた置換を用いて、不定積分 $\int \frac{x+2}{\sqrt{2x-1}} dx$ を求めます。ここで、置換は $2x-1=t$ です。

2. 解き方の手順

まず、置換 $2x-1=t$ を行います。

$2x-1=t$ より、$2x=t+1$ なので、$x=\frac{t+1}{2}$ となります。

また、両辺を微分すると、$2dx = dt$ なので、$dx = \frac{1}{2}dt$ となります。

これらを積分に代入すると、

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\int \frac{x+2}{\sqrt{2x-1}} dx = \int \frac{\frac{t+1}{2}+2}{\sqrt{t}} \cdot \frac{1}{2}dt

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=\int \frac{\frac{t+1+4}{2}}{\sqrt{t}} \cdot \frac{1}{2}dt = \frac{1}{4}\int \frac{t+5}{\sqrt{t}} dt = \frac{1}{4}\int (t^{\frac{1}{2}} + 5t^{-\frac{1}{2}}) dt

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= \frac{1}{4} \left( \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + 5 \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \right) + C = \frac{1}{4} \left( \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + 10 t^{\frac{1}{2}} \right) + C

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= \frac{1}{6} t^{\frac{3}{2}} + \frac{5}{2} t^{\frac{1}{2}} + C

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ここで、$t=2x-1$ を代入すると、

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\frac{1}{6} (2x-1)^{\frac{3}{2}} + \frac{5}{2} (2x-1)^{\frac{1}{2}} + C

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= \frac{1}{6}(2x-1)\sqrt{2x-1} + \frac{5}{2}\sqrt{2x-1} + C

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= \sqrt{2x-1} \left( \frac{2x-1}{6} + \frac{15}{6} \right) + C = \sqrt{2x-1} \left( \frac{2x+14}{6} \right) + C

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= \frac{x+7}{3} \sqrt{2x-1} + C

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3. 最終的な答え

$\frac{x+7}{3}\sqrt{2x-1} + C$