$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=4}^{n} \frac{1}{(k-1)(k-3)}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=4}^{n} \frac{1}{(k-1)(k-3)}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{(k-1)(k-3)}$ を部分分数分解します。

$\frac{1}{(k-1)(k-3)} = \frac{A}{k-1} + \frac{B}{k-3}$ と置きます。

両辺に $(k-1)(k-3)$ を掛けると、

$1 = A(k-3) + B(k-1)$ となります。

$k=1$ を代入すると、 $1 = A(1-3) + B(1-1) \Rightarrow 1 = -2A \Rightarrow A = -\frac{1}{2}$

$k=3$ を代入すると、 $1 = A(3-3) + B(3-1) \Rightarrow 1 = 2B \Rightarrow B = \frac{1}{2}$

したがって、$\frac{1}{(k-1)(k-3)} = -\frac{1}{2(k-1)} + \frac{1}{2(k-3)} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{k-3} - \frac{1}{k-1}\right)$ となります。

次に、$\sum_{k=4}^{n} \frac{1}{(k-1)(k-3)}$ を計算します。

$\sum_{k=4}^{n} \frac{1}{(k-1)(k-3)} = \frac{1}{2} \sum_{k=4}^{n} \left(\frac{1}{k-3} - \frac{1}{k-1}\right)$

$= \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{6}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n-3} - \frac{1}{n-1}\right) + \left(\frac{1}{n-2} - \frac{1}{n}\right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ \frac{3}{2} - \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right]$

$= \frac{3}{4} - \frac{1}{2(n-1)} - \frac{1}{2n}$

最後に、$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=4}^{n} \frac{1}{(k-1)(k-3)}$ を計算します。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=4}^{n} \frac{1}{(k-1)(k-3)} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3}{4} - \frac{1}{2(n-1)} - \frac{1}{2n} \right)$

$= \frac{3}{4} - \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2(n-1)} - \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n} = \frac{3}{4} - 0 - 0 = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}$