曲線 $y^2 = x^2(1-x^2)$ について、以下の問いに答えます。 (1) この曲線が $x$ 軸および $y$ 軸に関して対称であることを示します。 (2) この曲線で囲まれた2つの部分の面積の和 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

曲線 $y^2 = x^2(1-x^2)$ について、以下の問いに答えます。

(1) この曲線が $x$ 軸および $y$ 軸に関して対称であることを示します。

(2) この曲線で囲まれた2つの部分の面積の和 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 対称性について

* $x$ 軸に関する対称性：$y$ を $-y$ に置き換えても式が変わらないことを示します。

$(-y)^2 = x^2(1-x^2)$ より $y^2 = x^2(1-x^2)$ となり、元の式と同じになるため、$x$ 軸に関して対称です。

* $y$ 軸に関する対称性：$x$ を $-x$ に置き換えても式が変わらないことを示します。

$y^2 = (-x)^2(1-(-x)^2)$ より $y^2 = x^2(1-x^2)$ となり、元の式と同じになるため、$y$ 軸に関して対称です。

(2) 面積の計算

* $y^2 = x^2(1-x^2)$ より $y = \pm x\sqrt{1-x^2}$ です。

* $x \geq 0$ の範囲で、囲まれた部分の面積は $\int_0^1 (x\sqrt{1-x^2} - (-x\sqrt{1-x^2})) dx = \int_0^1 2x\sqrt{1-x^2} dx$ となります。

* $t = 1-x^2$ と置換すると、$dt = -2x dx$ となり、積分範囲は $x: 0 \to 1$ に対して $t: 1 \to 0$ となります。

* $\int_0^1 2x\sqrt{1-x^2} dx = \int_1^0 -\sqrt{t} dt = \int_0^1 \sqrt{t} dt = \left[\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}\right]_0^1 = \frac{2}{3}$ となります。

* 曲線は $y$ 軸に関して対称なので、全体の面積は上記の面積の2倍になります。したがって、面積の和 $S = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) この曲線は $x$ 軸および $y$ 軸に関して対称である。

(2) 面積の和 $S = \frac{4}{3}$