$0 \le x \le \pi$ の範囲において、2つの曲線 $y = \sin x$ と $y = \sin 2x$ で囲まれた2つの部分の面積の和 $S$ を求める。

1. 問題の内容

$0 \le x \le \pi$ の範囲において、2つの曲線 $y = \sin x$ と $y = \sin 2x$ で囲まれた2つの部分の面積の和 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、2つの曲線の交点を求めます。

$\sin x = \sin 2x$ を解きます。

$\sin x = 2 \sin x \cos x$

$\sin x - 2 \sin x \cos x = 0$

$\sin x (1 - 2 \cos x) = 0$

$\sin x = 0$ または $1 - 2 \cos x = 0$

$\sin x = 0$ より、$x = 0, \pi$

$\cos x = \frac{1}{2}$ より、$x = \frac{\pi}{3}$

したがって、交点は $x = 0, \frac{\pi}{3}, \pi$ です。

$0 \le x \le \frac{\pi}{3}$ の区間では、$\sin 2x \ge \sin x$

$\frac{\pi}{3} \le x \le \pi$ の区間では、$\sin x \ge \sin 2x$

面積 $S$ は次のように計算できます。

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\sin 2x - \sin x) dx + \int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} (\sin x - \sin 2x) dx$

$S = \left[ -\frac{1}{2}\cos 2x + \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} + \left[ -\cos x + \frac{1}{2}\cos 2x \right]_{\frac{\pi}{3}}^{\pi}$

$S = \left( -\frac{1}{2}\cos \frac{2\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{3} \right) - \left( -\frac{1}{2}\cos 0 + \cos 0 \right) + \left( -\cos \pi + \frac{1}{2}\cos 2\pi \right) - \left( -\cos \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}\cos \frac{2\pi}{3} \right)$

$S = \left( -\frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} \right) + \frac{1}{2} \right) - \left( -\frac{1}{2} + 1 \right) + \left( -(-1) + \frac{1}{2}(1) \right) - \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\left( -\frac{1}{2} \right) \right)$

$S = \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \right) - \frac{1}{2} + \left( 1 + \frac{1}{2} \right) - \left( -\frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right)$

$S = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - \left( -\frac{3}{4} \right)$

$S = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} + \frac{6}{4} + \frac{3}{4}$

$S = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{2}$