正の定数 $a$ が与えられ、数列 $x_n, y_n$ が以下のように定義される。 $x_1 = a$, $y_1 = a$ であり、曲線 $xy = a^2$ 上の点 $(x_n, y_n)$ における接線と $x$ 軸の交点の $x$ 座標を $x_{n+1}$ とし、$x_{n+1}$ を $x$ 座標としてもつ曲線 $xy = a^2$ 上の点を $(x_{n+1}, y_{n+1})$ とする。 $\sum_{n=1}^{\infty} y_n = 2$ であるとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

正の定数 $a$ が与えられ、数列 $x_n, y_n$ が以下のように定義される。

$x_1 = a$, $y_1 = a$ であり、曲線 $xy = a^2$ 上の点 $(x_n, y_n)$ における接線と $x$ 軸の交点の $x$ 座標を $x_{n+1}$ とし、$x_{n+1}$ を $x$ 座標としてもつ曲線 $xy = a^2$ 上の点を $(x_{n+1}, y_{n+1})$ とする。

$\sum_{n=1}^{\infty} y_n = 2$ であるとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $xy = a^2$ 上の点 $(x_n, y_n)$ における接線を求める。

$y = \frac{a^2}{x}$ より、$y' = -\frac{a^2}{x^2}$。

よって、点 $(x_n, y_n)$ における接線の方程式は、

$y - y_n = -\frac{a^2}{x_n^2}(x - x_n)$

$y = -\frac{a^2}{x_n^2}x + \frac{a^2}{x_n} + y_n$

$y = -\frac{a^2}{x_n^2}x + \frac{a^2}{x_n} + \frac{a^2}{x_n}$

$y = -\frac{a^2}{x_n^2}x + \frac{2a^2}{x_n}$

この接線と $x$ 軸との交点の $x$ 座標は $y = 0$ とおいて、

$0 = -\frac{a^2}{x_n^2}x + \frac{2a^2}{x_n}$

$\frac{a^2}{x_n^2}x = \frac{2a^2}{x_n}$

$x = 2x_n$

したがって、$x_{n+1} = 2x_n$ である。

$x_1 = a$ より、$x_n = a \cdot 2^{n-1}$ となる。

$y_{n+1} = \frac{a^2}{x_{n+1}} = \frac{a^2}{2x_n} = \frac{1}{2} y_n$

$y_1 = a$ より、$y_n = a \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$ となる。

$\sum_{n=1}^{\infty} y_n = \sum_{n=1}^{\infty} a (\frac{1}{2})^{n-1} = a \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^{n-1} = a \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{2})^{n}$

等比数列の和の公式より、

$\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{2})^{n} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

よって、$\sum_{n=1}^{\infty} y_n = 2a$

$\sum_{n=1}^{\infty} y_n = 2$ より、$2a = 2$。

3. 最終的な答え

$a = 1$