曲線 $y = \frac{2\sqrt{3}}{3}x^{\frac{3}{2}}$ の $0 \le x \le 1$ における長さ $L$ を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{2\sqrt{3}}{3}x^{\frac{3}{2}}$ の $0 \le x \le 1$ における長さ $L$ を求める。

2. 解き方の手順

曲線の長さ $L$ は、以下の公式で求められる。

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (y')^2} dx$

まず、$y$ を $x$ で微分する。

$y' = \frac{d}{dx} \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}x^{\frac{3}{2}}\right) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} x^{\frac{1}{2}}$

次に、$(y')^2$ を計算する。

$(y')^2 = (\sqrt{3} x^{\frac{1}{2}})^2 = 3x$

$1 + (y')^2$ を計算する。

$1 + (y')^2 = 1 + 3x$

曲線の長さ $L$ を求める積分を計算する。

$L = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 3x} dx$

置換積分を行う。$u = 1 + 3x$ とおくと、$du = 3 dx$ なので、$dx = \frac{1}{3} du$ となる。

$x = 0$ のとき $u = 1$ であり、$x = 1$ のとき $u = 4$ である。

よって、積分は次のようになる。

$L = \int_{1}^{4} \sqrt{u} \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} du$

$u^{\frac{1}{2}}$ を積分する。

$\int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

定積分を計算する。

$L = \frac{1}{3} \left[ \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{4} = \frac{2}{9} \left[ u^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{4} = \frac{2}{9} \left( 4^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}} \right)$

$L = \frac{2}{9} \left( (2^2)^{\frac{3}{2}} - 1 \right) = \frac{2}{9} \left( 2^3 - 1 \right) = \frac{2}{9} (8 - 1) = \frac{2}{9} \cdot 7 = \frac{14}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{14}{9}$