定積分 $\int_0^1 x \tan^{-1} x dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^1 x \tan^{-1} x dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を用いて解きます。部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ です。

ここで、$u = \tan^{-1} x$ と $dv = x dx$ とおきます。

すると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$ と $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

部分積分の公式を適用すると、

$\int_0^1 x \tan^{-1} x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{1+x^2} dx$

$= \left( \frac{1^2}{2} \tan^{-1} 1 - \frac{0^2}{2} \tan^{-1} 0 \right) - \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{x^2}{1+x^2} dx$

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{x^2}{1+x^2} dx$

$= \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{x^2}{1+x^2} dx$

次に、$\int_0^1 \frac{x^2}{1+x^2} dx$ を計算します。

$\frac{x^2}{1+x^2} = \frac{1+x^2-1}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}$ であるから、

$\int_0^1 \frac{x^2}{1+x^2} dx = \int_0^1 \left( 1 - \frac{1}{1+x^2} \right) dx = \int_0^1 1 dx - \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx$

$= [x]_0^1 - [\tan^{-1} x]_0^1 = (1-0) - (\tan^{-1} 1 - \tan^{-1} 0) = 1 - \frac{\pi}{4}$

したがって、

$\int_0^1 x \tan^{-1} x dx = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right)$

$= \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} + \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$