与えられた定積分 $\int_0^{2\pi} \frac{1}{\cos \theta + 2} d\theta$ を留数定理を用いて計算する。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_0^{2\pi} \frac{1}{\cos \theta + 2} d\theta$ を留数定理を用いて計算する。

2. 解き方の手順

まず、$z = e^{i\theta}$ とおく。すると、$dz = i e^{i\theta} d\theta = iz d\theta$ となるので、$d\theta = \frac{dz}{iz}$ である。また、$\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2} = \frac{z + \frac{1}{z}}{2} = \frac{z^2 + 1}{2z}$ となる。

したがって、

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\int_0^{2\pi} \frac{1}{\cos \theta + 2} d\theta = \oint_{|z|=1} \frac{1}{\frac{z^2+1}{2z} + 2} \frac{dz}{iz} = \oint_{|z|=1} \frac{1}{\frac{z^2+1+4z}{2z}} \frac{dz}{iz} = \oint_{|z|=1} \frac{2z}{z^2+4z+1} \frac{dz}{iz} = \oint_{|z|=1} \frac{2}{i(z^2+4z+1)} dz

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= \frac{2}{i} \oint_{|z|=1} \frac{1}{z^2+4z+1} dz

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$z^2 + 4z + 1 = 0$ の解は、$z = \frac{-4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$ となる。

$z_1 = -2 + \sqrt{3}$ と $z_2 = -2 - \sqrt{3}$ である。

$|z_1| = |-2 + \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3} < 1$ であり、$|z_2| = |-2 - \sqrt{3}| = 2 + \sqrt{3} > 1$ なので、$z_1 = -2 + \sqrt{3}$ のみが $|z|=1$ の内部にある。

留数は、

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\text{Res} \left[ \frac{1}{z^2+4z+1}, -2+\sqrt{3} \right] = \lim_{z \to -2+\sqrt{3}} \frac{z - (-2+\sqrt{3})}{z^2+4z+1} = \lim_{z \to -2+\sqrt{3}} \frac{z - (-2+\sqrt{3})}{(z-(-2+\sqrt{3}))(z-(-2-\sqrt{3}))}

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= \lim_{z \to -2+\sqrt{3}} \frac{1}{z-(-2-\sqrt{3})} = \frac{1}{(-2+\sqrt{3}) - (-2-\sqrt{3})} = \frac{1}{2\sqrt{3}}

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したがって、留数定理より、

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\oint_{|z|=1} \frac{1}{z^2+4z+1} dz = 2\pi i \cdot \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\pi i}{\sqrt{3}}

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なので、

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\int_0^{2\pi} \frac{1}{\cos \theta + 2} d\theta = \frac{2}{i} \oint_{|z|=1} \frac{1}{z^2+4z+1} dz = \frac{2}{i} \cdot \frac{\pi i}{\sqrt{3}} = \frac{2\pi}{\sqrt{3}}

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3. 最終的な答え

$\frac{2\pi}{\sqrt{3}}$