曲線 $C_1: y = 2\cos x$ ($0 \le x \le \frac{\pi}{2}$) と曲線 $C_2: y = \cos 2x + k$ ($0 \le x \le \frac{\pi}{2}$) が共有点Pで共通の接線 $l$ を持つ。ただし、$k$ は定数であり、点Pの $x$ 座標は正とする。$k$ の値と接線 $l$ の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $C_1: y = 2\cos x$ ($0 \le x \le \frac{\pi}{2}$) と曲線 $C_2: y = \cos 2x + k$ ($0 \le x \le \frac{\pi}{2}$) が共有点Pで共通の接線 $l$ を持つ。ただし、$k$ は定数であり、点Pの $x$ 座標は正とする。$k$ の値と接線 $l$ の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

点Pの $x$ 座標を $t$ ($0 < t \le \frac{\pi}{2}$) とおく。点Pにおいて、$C_1$ と $C_2$ は共通の点を持つので、

$$2\cos t = \cos 2t + k$$

また、$C_1$ と $C_2$ は点Pで共通の接線を持つので、それぞれの導関数を求め、点Pにおける傾きが等しいことから、

$$y_1' = -2\sin x, \quad y_2' = -2\sin 2x$$

$$-2\sin t = -2\sin 2t$$

$$\sin t = \sin 2t = 2\sin t \cos t$$

$\sin t \neq 0$ より、

$$1 = 2\cos t$$

$$\cos t = \frac{1}{2}$$

よって、$t = \frac{\pi}{3}$ 。

$2\cos t = \cos 2t + k$ に $t = \frac{\pi}{3}$ を代入すると、

$$2\cos \frac{\pi}{3} = \cos \frac{2\pi}{3} + k$$

$$2 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} + k$$

$$1 = -\frac{1}{2} + k$$

$$k = \frac{3}{2}$$

点Pの座標は $(\frac{\pi}{3}, 1)$ であり、接線の傾きは $y_1'(\frac{\pi}{3}) = -2\sin \frac{\pi}{3} = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}$ 。

よって、接線 $l$ の方程式は、

$$y - 1 = -\sqrt{3}(x - \frac{\pi}{3})$$

$$y = -\sqrt{3}x + \frac{\sqrt{3}\pi}{3} + 1$$

3. 最終的な答え

$k = \frac{3}{2}$

接線 $l$ の方程式: $y = -\sqrt{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}\pi + 1$