与えられた関数を微分する問題です。特に問題(5)は $y = \log_a (\sin x)$ を微分する問題です。ここで $a$ は定数で、$a > 0$ かつ $a \neq 1$ です。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。特に問題(5)は $y = \log_a (\sin x)$ を微分する問題です。ここで $a$ は定数で、$a > 0$ かつ $a \neq 1$ です。

2. 解き方の手順

まず、対数の底の変換公式を用いて、与えられた関数を自然対数に変換します。底の変換公式は以下の通りです。

$$\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$$

この公式を $y = \log_a (\sin x)$ に適用すると、

$$y = \frac{\log (\sin x)}{\log a}$$

となります。ここで$\log$ は自然対数を意味するとします。

次に、この関数を $x$ で微分します。$\log a$ は定数なので、

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log a} \frac{d}{dx} (\log (\sin x))$$

合成関数の微分を用いると、

$$\frac{d}{dx} (\log (\sin x)) = \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{d}{dx} (\sin x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$$

したがって、

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log a} \cot x = \frac{\cot x}{\log a}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\cot x}{\log a}$$