定積分 $\int_{-\pi}^{\pi} \cos x \sin^4 x \, dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\pi}^{\pi} \cos x \sin^4 x \, dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = \cos x \sin^4 x$ とおきます。

$f(-x) = \cos(-x) \sin^4(-x) = \cos x (-\sin x)^4 = \cos x \sin^4 x = f(x)$ となるので、$f(x)$ は偶関数です。

したがって、

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos x \sin^4 x \, dx = 2 \int_{0}^{\pi} \cos x \sin^4 x \, dx$

となります。

次に、置換積分を行います。$u = \sin x$ とおくと、$du = \cos x \, dx$ となります。

$x$ が $0$ から $\pi$ まで変化するとき、$u$ は $0$ から $1$ まで増加し、$1$ から $0$ まで減少します。

よって、

$\int_{0}^{\pi} \cos x \sin^4 x \, dx = \int_{0}^{1} u^4 \, du + \int_{1}^{0} u^4 \, du = \int_0^1 u^4 du - \int_0^1 u^4 du = 0$

したがって、

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos x \sin^4 x \, dx = 2 \int_{0}^{\pi} \cos x \sin^4 x \, dx = 2 \cdot 0 = 0$

3. 最終的な答え

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