与えられた不定積分を計算する問題です。具体的には、以下の4つの積分を求めます。 (1) $\int (\frac{1}{\tan x} - 2)\sin x \, dx$ (2) $\int \frac{\tan^2 x}{\sin^2 x} \, dx$ (3) $\int (\frac{2 + \cos^3 \theta}{\cos^2 \theta} + \sin \theta) \, d\theta$ (4) $\int \frac{e^{2x} - 1}{e^x - 1} \, dx$

1. 問題の内容

与えられた不定積分を計算する問題です。具体的には、以下の4つの積分を求めます。

(1) $\int (\frac{1}{\tan x} - 2)\sin x \, dx$

(2) $\int \frac{\tan^2 x}{\sin^2 x} \, dx$

(3) $\int (\frac{2 + \cos^3 \theta}{\cos^2 \theta} + \sin \theta) \, d\theta$

(4) $\int \frac{e^{2x} - 1}{e^x - 1} \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int (\frac{1}{\tan x} - 2)\sin x \, dx$

$\frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}$ なので、積分は以下のように書き換えられます。

$\int (\frac{\cos x}{\sin x} - 2)\sin x \, dx = \int (\cos x - 2\sin x) \, dx$

それぞれの項を積分します。

$\int \cos x \, dx = \sin x$

$\int -2\sin x \, dx = 2\cos x$

したがって、

$\int (\cos x - 2\sin x) \, dx = \sin x + 2\cos x + C$

(2) $\int \frac{\tan^2 x}{\sin^2 x} \, dx$

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ なので、積分は以下のように書き換えられます。

$\int \frac{\tan^2 x}{\sin^2 x} \, dx = \int \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x \sin^2 x} \, dx = \int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx$

$\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ であり、 $\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$ なので、

$\int \frac{\tan^2 x}{\sin^2 x} \, dx = \tan x + C$

(3) $\int (\frac{2 + \cos^3 \theta}{\cos^2 \theta} + \sin \theta) \, d\theta$

積分を以下のように分解します。

$\int (\frac{2}{\cos^2 \theta} + \frac{\cos^3 \theta}{\cos^2 \theta} + \sin \theta) \, d\theta = \int (2\sec^2 \theta + \cos \theta + \sin \theta) \, d\theta$

それぞれの項を積分します。

$\int 2\sec^2 \theta \, d\theta = 2\tan \theta$

$\int \cos \theta \, d\theta = \sin \theta$

$\int \sin \theta \, d\theta = -\cos \theta$

したがって、

$\int (2\sec^2 \theta + \cos \theta + \sin \theta) \, d\theta = 2\tan \theta + \sin \theta - \cos \theta + C$

(4) $\int \frac{e^{2x} - 1}{e^x - 1} \, dx$

$e^{2x} - 1 = (e^x - 1)(e^x + 1)$ なので、積分は以下のように書き換えられます。

$\int \frac{e^{2x} - 1}{e^x - 1} \, dx = \int \frac{(e^x - 1)(e^x + 1)}{e^x - 1} \, dx = \int (e^x + 1) \, dx$

それぞれの項を積分します。

$\int e^x \, dx = e^x$

$\int 1 \, dx = x$

したがって、

$\int (e^x + 1) \, dx = e^x + x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\sin x + 2\cos x + C$

(2) $\tan x + C$

(3) $2\tan \theta + \sin \theta - \cos \theta + C$

(4) $e^x + x + C$