$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\cos 2x - 1}$ を計算する。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\cos 2x - 1}$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$\cos 2x$ を倍角の公式を使って変形します。

$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$

したがって、$\cos 2x - 1 = -2\sin^2 x$ となります。

これにより、与えられた極限は次のように書き換えられます。

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{-2\sin^2 x} = -\frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin^2 x}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ であることを利用すると、$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$ も成り立ちます。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin^2 x} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{x}{\sin x}\right)^2 = 1^2 = 1$

よって、

$-\frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin^2 x} = -\frac{1}{2} \times 1 = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2}$