与えられた式に基づいて、$f^{(k+1)}(x)$を計算する問題です。具体的には、$f^{(k+1)}(x) = \frac{d}{dx}\left[(-1)^{k-1}\frac{(k-1)!}{x^k}\right]$を計算し、最終的に$f^{(k+1)}(x) = (-1)^k\frac{k!}{x^{k+1}}$となることを示します。

1. 問題の内容

与えられた式に基づいて、$f^{(k+1)}(x)$を計算する問題です。具体的には、$f^{(k+1)}(x) = \frac{d}{dx}\left[(-1)^{k-1}\frac{(k-1)!}{x^k}\right]$を計算し、最終的に$f^{(k+1)}(x) = (-1)^k\frac{k!}{x^{k+1}}$となることを示します。

2. 解き方の手順

まず、$f^{(k+1)}(x)$の定義式から始めます。

$f^{(k+1)}(x) = \frac{d}{dx}\left[(-1)^{k-1}\frac{(k-1)!}{x^k}\right]$

定数部分を微分記号の外に出します。

$f^{(k+1)}(x) = (-1)^{k-1}(k-1)!\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^k}\right]$

$\frac{1}{x^k} = x^{-k}$なので、$\frac{d}{dx}\left[x^{-k}\right] = -kx^{-k-1} = -\frac{k}{x^{k+1}}$となります。

$f^{(k+1)}(x) = (-1)^{k-1}(k-1)!\left(-\frac{k}{x^{k+1}}\right)$

符号を整理します。

$f^{(k+1)}(x) = (-1)^k(k-1)!\frac{k}{x^{k+1}}$

$k(k-1)! = k!$なので、

$f^{(k+1)}(x) = (-1)^k\frac{k!}{x^{k+1}}$

3. 最終的な答え

$f^{(k+1)}(x) = (-1)^k\frac{k!}{x^{k+1}}$