半角の公式を用いて、次の値を求めよ。 (1) $\sin \frac{\pi}{12}$ (2) $\cos \frac{5\pi}{8}$ (3) $\tan \frac{3\pi}{8}$

1. 問題の内容

半角の公式を用いて、次の値を求めよ。

(1) $\sin \frac{\pi}{12}$

(2) $\cos \frac{5\pi}{8}$

(3) $\tan \frac{3\pi}{8}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \frac{\pi}{12}$ を求める。

$\sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{2}$ の半角の公式を使う。

$\frac{\pi}{12} = \frac{\pi/6}{2}$ なので、$\theta = \frac{\pi}{6}$ を代入する。

$\sin^2 \frac{\pi}{12} = \frac{1 - \cos \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

$\sin \frac{\pi}{12} > 0$ なので、

$\sin \frac{\pi}{12} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

ここで、$\sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

よって、$\sin \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(2) $\cos \frac{5\pi}{8}$ を求める。

$\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos \theta}{2}$ の半角の公式を使う。

$\frac{5\pi}{8} = \frac{5\pi/4}{2}$ なので、$\theta = \frac{5\pi}{4}$ を代入する。

$\cos^2 \frac{5\pi}{8} = \frac{1 + \cos \frac{5\pi}{4}}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$

$\frac{5\pi}{8}$ は第二象限の角なので、$\cos \frac{5\pi}{8} < 0$

$\cos \frac{5\pi}{8} = -\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

(3) $\tan \frac{3\pi}{8}$ を求める。

$\tan^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}$ の半角の公式を使う。

$\frac{3\pi}{8} = \frac{3\pi/4}{2}$ なので、$\theta = \frac{3\pi}{4}$ を代入する。

$\tan^2 \frac{3\pi}{8} = \frac{1 - \cos \frac{3\pi}{4}}{1 + \cos \frac{3\pi}{4}} = \frac{1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{1 + (-\frac{\sqrt{2}}{2})} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{(2 + \sqrt{2})^2}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{4 + 4\sqrt{2} + 2}{4 - 2} = \frac{6 + 4\sqrt{2}}{2} = 3 + 2\sqrt{2}$

$\frac{3\pi}{8}$ は第一象限の角なので、$\tan \frac{3\pi}{8} > 0$

$\tan \frac{3\pi}{8} = \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(1 + \sqrt{2})^2} = 1 + \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(2) $\cos \frac{5\pi}{8} = -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

(3) $\tan \frac{3\pi}{8} = 1 + \sqrt{2}$