複素関数 $w = \frac{1}{2z}$ ($z \neq 0$) によって、$z$ 平面上の原点中心、半径2の円が、$w$ 平面上ではどのように変化するかを図示する問題です。ただし、$z = x + iy$、$w = u + iv$ とします。

1. 問題の内容

複素関数 $w = \frac{1}{2z}$ ($z \neq 0$) によって、$z$ 平面上の原点中心、半径2の円が、$w$ 平面上ではどのように変化するかを図示する問題です。ただし、$z = x + iy$、$w = u + iv$ とします。

2. 解き方の手順

まず、$w = \frac{1}{2z}$ より、$z = \frac{1}{2w}$ となります。

$z$ 平面上の円は、$|z| = 2$ と表されます。

これを、$w$ を用いて書き換えます。

$|z| = \left|\frac{1}{2w}\right| = \frac{1}{2|w|} = 2$

これを $|w|$ について解くと、

$|w| = \frac{1}{4}$

これは、$w$ 平面上で原点中心、半径 $\frac{1}{4}$ の円を表します。

3. 最終的な答え

$w$ 平面上の像は、原点中心、半径 $\frac{1}{4}$ の円です。