任意の実数 $a$ と自然数 $n$ に対して、 $x \ge a$ のとき、不等式 $e^x \ge e^a + \frac{e^a}{1!}(x-a) + \frac{e^a}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{e^a}{n!}(x-a)^n$ が成り立つことを示す。

1. 問題の内容

任意の実数 $a$ と自然数 $n$ に対して、 $x \ge a$ のとき、不等式

$e^x \ge e^a + \frac{e^a}{1!}(x-a) + \frac{e^a}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{e^a}{n!}(x-a)^n$

が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

$f(x) = e^x$ とおく。 $f(x)$ の $x=a$ におけるテイラー展開は、

$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k$

となる。ここで、$f^{(k)}(x) = e^x$ であるから、$f^{(k)}(a) = e^a$ となる。したがって、

$e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{e^a}{k!} (x-a)^k = e^a \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(x-a)^k}{k!}$

である。ここで、$e^x$ の $x=a$ における $n$ 次のテイラー近似を $T_n(x)$ とすると、

$T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{e^a}{k!} (x-a)^k = e^a + \frac{e^a}{1!}(x-a) + \frac{e^a}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{e^a}{n!}(x-a)^n$

となる。テイラーの定理より、

$e^x = T_n(x) + R_n(x)$

であり、$R_n(x)$ はラグランジュの剰余項で、

$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} = \frac{e^c}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$

となる。ここで、$c$ は $a$ と $x$ の間の値である。 $x \ge a$ なので、$c \ge a$ であり、$e^c > 0$ である。

また、$(x-a)^{n+1} \ge 0$ である。したがって、$R_n(x) \ge 0$ である。

よって、$e^x = T_n(x) + R_n(x) \ge T_n(x)$ が成り立つ。すなわち、

$e^x \ge e^a + \frac{e^a}{1!}(x-a) + \frac{e^a}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{e^a}{n!}(x-a)^n$

が成り立つ。

3. 最終的な答え

$e^x \ge e^a + \frac{e^a}{1!}(x-a) + \frac{e^a}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{e^a}{n!}(x-a)^n$