与えられた3つの二階線形常微分方程式の一般解を求める問題です。 (1) $\frac{d^2y}{dt^2} + 2\frac{dy}{dt} - 8y = 0$ (2) $\frac{d^2y}{dt^2} - y + 3 = 0$ (3) $\frac{d^2y}{dt^2} + 4\frac{dy}{dt} + 4y = 0$

1. 問題の内容

与えられた3つの二階線形常微分方程式の一般解を求める問題です。

(1) $\frac{d^2y}{dt^2} + 2\frac{dy}{dt} - 8y = 0$

(2) $\frac{d^2y}{dt^2} - y + 3 = 0$

(3) $\frac{d^2y}{dt^2} + 4\frac{dy}{dt} + 4y = 0$

2. 解き方の手順

(1)

特性方程式を立て、解を求めます。

$\frac{d^2y}{dt^2} + 2\frac{dy}{dt} - 8y = 0$ に対して、$y = e^{\lambda t}$とおくと、

特性方程式は、$\lambda^2 + 2\lambda - 8 = 0$

$(\lambda + 4)(\lambda - 2) = 0$

$\lambda_1 = -4, \lambda_2 = 2$

よって、一般解は $y = C_1e^{-4t} + C_2e^{2t}$ ($C_1, C_2$は任意定数)

(2)

$\frac{d^2y}{dt^2} - y + 3 = 0$

まず、同次方程式$\frac{d^2y}{dt^2} - y = 0$の一般解を求める。

特性方程式は、$\lambda^2 - 1 = 0$

$(\lambda - 1)(\lambda + 1) = 0$

$\lambda_1 = 1, \lambda_2 = -1$

よって、同次方程式の一般解は$y = C_1e^t + C_2e^{-t}$ ($C_1, C_2$は任意定数)

次に、非同次方程式の特殊解を求める。

$y = A$とおくと、$\frac{d^2y}{dt^2} - y + 3 = 0$より、$-A + 3 = 0$なので、$A = 3$

したがって、一般解は $y = C_1e^t + C_2e^{-t} + 3$ ($C_1, C_2$は任意定数)

(3)

$\frac{d^2y}{dt^2} + 4\frac{dy}{dt} + 4y = 0$

特性方程式は、$\lambda^2 + 4\lambda + 4 = 0$

$(\lambda + 2)^2 = 0$

$\lambda = -2$（重解）

よって、一般解は $y = (C_1 + C_2t)e^{-2t}$ ($C_1, C_2$は任意定数)

3. 最終的な答え

(1) $y = C_1e^{-4t} + C_2e^{2t}$ ($C_1, C_2$は任意定数)

(2) $y = C_1e^t + C_2e^{-t} + 3$ ($C_1, C_2$は任意定数)

(3) $y = (C_1 + C_2t)e^{-2t}$ ($C_1, C_2$は任意定数)