与えられた微分方程式 $m \frac{d^2 x}{dt^2} = -mg$ の一般解を求める問題です。ここで、$m$ は質量、$x$ は位置、$t$ は時間、$g$ は重力加速度を表します。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $m \frac{d^2 x}{dt^2} = -mg$ の一般解を求める問題です。ここで、$m$ は質量、$x$ は位置、$t$ は時間、$g$ は重力加速度を表します。

2. 解き方の手順

まず、微分方程式を整理します。

$\frac{d^2 x}{dt^2} = -g$

これは、$x$ の2階微分が $-g$ に等しいことを意味します。この式を積分することで、$x$ の1階微分、つまり速度を求めることができます。

$\int \frac{d^2 x}{dt^2} dt = \int -g dt$

$\frac{dx}{dt} = -gt + C_1$

ここで、$C_1$ は積分定数です。次に、もう一度積分して、$x$ を求めます。

$\int \frac{dx}{dt} dt = \int (-gt + C_1) dt$

$x = -\frac{1}{2}gt^2 + C_1t + C_2$

ここで、$C_2$ は別の積分定数です。

3. 最終的な答え

与えられた微分方程式の一般解は以下の通りです。

$x(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + C_1t + C_2$