与えられた4つの不定積分を計算する問題です。 (1) $\int x \sin x \, dx$ (2) $\int x e^{2x} \, dx$ (3) $\int x^2 \log x \, dx$ (4) $\int \log(x-2) \, dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの不定積分を計算する問題です。

(1) $\int x \sin x \, dx$

(2) $\int x e^{2x} \, dx$

(3) $\int x^2 \log x \, dx$

(4) $\int \log(x-2) \, dx$

2. 解き方の手順

これらの積分は、部分積分法を使って解くことができます。部分積分法は、$\int u \, dv = uv - \int v \, du$ という公式を利用します。

(1) $\int x \sin x \, dx$

$u = x$, $dv = \sin x \, dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\cos x$ となります。

したがって、

$\int x \sin x \, dx = -x \cos x - \int (-\cos x) \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x + C$

(2) $\int x e^{2x} \, dx$

$u = x$, $dv = e^{2x} \, dx$ とすると、$du = dx$, $v = \frac{1}{2}e^{2x}$ となります。

したがって、

$\int x e^{2x} \, dx = \frac{1}{2}xe^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x} \, dx = \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C$

(3) $\int x^2 \log x \, dx$

$u = \log x$, $dv = x^2 \, dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = \frac{1}{3}x^3$ となります。

したがって、

$\int x^2 \log x \, dx = \frac{1}{3}x^3 \log x - \int \frac{1}{3}x^3 \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{1}{3}x^3 \log x - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx = \frac{1}{3}x^3 \log x - \frac{1}{9}x^3 + C$

(4) $\int \log(x-2) \, dx$

$u = \log(x-2)$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x-2} \, dx$, $v = x$ となります。

したがって、

$\int \log(x-2) \, dx = x \log(x-2) - \int \frac{x}{x-2} \, dx$

$\int \frac{x}{x-2} \, dx = \int \frac{x-2+2}{x-2} \, dx = \int (1 + \frac{2}{x-2}) \, dx = x + 2\log|x-2| + C$

したがって、

$\int \log(x-2) \, dx = x \log(x-2) - (x + 2\log|x-2|) + C = (x-2)\log(x-2) - x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C$

(2) $\int x e^{2x} \, dx = \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C$

(3) $\int x^2 \log x \, dx = \frac{1}{3}x^3 \log x - \frac{1}{9}x^3 + C$

(4) $\int \log(x-2) \, dx = (x-2)\log(x-2) - x + C$