関数 $f(z)$ をコーシー・リーマンの微分方程式を用いて微分し、最終的に $z$ の関数で表す問題です。ただし、$z = x + iy$ です。具体的な関数 $f(z)$ の形が画像からは読み取れません。画像に書かれているのは、$f(z)$の実部 $u(x,y)$ と虚部 $v(x,y)$ をそれぞれ$\sin 2x$とすると書かれています。したがって、$f(z) = \sin(2x) + i v(x,y)$として解き進めます。

1. 問題の内容

関数 $f(z)$ をコーシー・リーマンの微分方程式を用いて微分し、最終的に $z$ の関数で表す問題です。ただし、$z = x + iy$ です。具体的な関数 $f(z)$ の形が画像からは読み取れません。画像に書かれているのは、$f(z)$の実部 $u(x,y)$ と虚部 $v(x,y)$ をそれぞれ$\sin 2x$とすると書かれています。したがって、$f(z) = \sin(2x) + i v(x,y)$として解き進めます。

2. 解き方の手順

まず、コーシー・リーマンの関係式を確認します。$f(z) = u(x, y) + i v(x, y)$ が正則であるとき、

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$

$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

が成り立ちます。

与えられた $u(x, y) = \sin 2x$ に対し、偏微分を計算します。

$\frac{\partial u}{\partial x} = 2 \cos 2x$

$\frac{\partial u}{\partial y} = 0$

これらの結果とコーシー・リーマンの関係式から、$v(x, y)$ に関する偏微分方程式を得ます。

$\frac{\partial v}{\partial y} = 2 \cos 2x$

$\frac{\partial v}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial v}{\partial x} = 0$ より、$v(x, y)$ は $x$ に依存しません。つまり、$v(x, y) = v(y)$ です。

$\frac{\partial v}{\partial y} = 2 \cos 2x$ より、$v(y) = \int 2 \cos 2x dy = 2y\cos 2x + C$ (Cは定数)

したがって、$f(z) = u(x, y) + i v(x, y) = \sin 2x + i (2y \cos 2x + C)$ となります。

次に、$f'(z)$ を求めます。$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x}$ です。

$\frac{\partial u}{\partial x} = 2 \cos 2x$

$\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2y \cos 2x + C) = -4y\sin 2x$

したがって、$f'(z) = 2 \cos 2x - i 4y \sin 2x$

最後に、これらを $z$ の関数として表します。

$z = x + iy$ より、$x = \frac{z + \overline{z}}{2}$、$y = \frac{z - \overline{z}}{2i}$ です。

$f(z)$と$f'(z)$に代入しますが、実部がxのみに依存しており、$f'(z)$については虚部がxとyに依存しているので、より簡単な表式に変形することは難しいです。

関数がわからないため、上記の$f(z)$および$f'(z)$が最終的な答えとします。

3. 最終的な答え

$f(z) = \sin 2x + i (2y \cos 2x + C)$

$f'(z) = 2 \cos 2x - i 4y \sin 2x$