関数 $y = \sqrt{3} \sin x + \cos x$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{3} \sin x + \cos x$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数を三角関数の合成を用いて変形します。

$y = \sqrt{3} \sin x + \cos x$

この式を $y = r \sin(x+\alpha)$ の形に変形します。ただし、$r = \sqrt{a^2 + b^2}$ であり、$\tan \alpha = \frac{b}{a}$ です。今回の場合は、$a = \sqrt{3}$ で、$b=1$ です。

$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

$\tan \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ より、$\alpha = \frac{\pi}{6}$

したがって、与えられた関数は次のように変形できます。

$y = 2 \sin(x + \frac{\pi}{6})$

サイン関数の最大値は1、最小値は-1であるため、$y$ の最大値と最小値は次のようになります。

最大値: $2 \cdot 1 = 2$

最小値: $2 \cdot (-1) = -2$

3. 最終的な答え

最大値: 2

最小値: -2