極限 $\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{(x - \pi)^2}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{(x - \pi)^2}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x - \pi = t$ とおくと、$x = t + \pi$ となり、$x \to \pi$ のとき $t \to 0$ となります。したがって、

$$\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{(x - \pi)^2} = \lim_{t \to 0} \frac{1 + \cos (t + \pi)}{t^2}$$

$\cos (t + \pi) = -\cos t$ であるから、

$$\lim_{t \to 0} \frac{1 + \cos (t + \pi)}{t^2} = \lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos t}{t^2}$$

ここで、$1 - \cos t = 2 \sin^2 \frac{t}{2}$ であるから、

$$\lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos t}{t^2} = \lim_{t \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{t}{2}}{t^2} = 2 \lim_{t \to 0} \frac{\sin^2 \frac{t}{2}}{t^2}$$

$u = \frac{t}{2}$ とおくと、$t = 2u$ となり、$t \to 0$ のとき $u \to 0$ となります。したがって、

$$2 \lim_{t \to 0} \frac{\sin^2 \frac{t}{2}}{t^2} = 2 \lim_{u \to 0} \frac{\sin^2 u}{(2u)^2} = 2 \lim_{u \to 0} \frac{\sin^2 u}{4u^2} = \frac{2}{4} \lim_{u \to 0} \frac{\sin^2 u}{u^2} = \frac{1}{2} \lim_{u \to 0} \left(\frac{\sin u}{u}\right)^2$$

$\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$ であるから、

$$\frac{1}{2} \lim_{u \to 0} \left(\frac{\sin u}{u}\right)^2 = \frac{1}{2} (1)^2 = \frac{1}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$