与えられた関数 $y = 4\sin x \cos x - 2\cos^2 x$ を変形し、三角関数の合成の形にすることと、$sin\alpha$と$cos\alpha$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = 4\sin x \cos x - 2\cos^2 x$ を変形し、三角関数の合成の形にすることと、$sin\alpha$と$cos\alpha$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = 4\sin x \cos x - 2\cos^2 x$ を変形します。

* $2\sin x \cos x = \sin 2x$ を用いると、$4\sin x \cos x = 2(2\sin x \cos x) = 2\sin 2x$となります。

* $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ より、$2\cos^2 x = \cos 2x + 1$となります。

したがって、

$y = 2\sin 2x - (\cos 2x + 1) = 2\sin 2x - \cos 2x - 1$

ここで、$a\sin\theta + b\cos\theta$ を合成すると $\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta + \alpha)$ (ただし$\cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$, $\sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$)となることを利用します。

$2\sin 2x - \cos 2x$に対して、$a=2$, $b=-1$なので、$\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$。

よって、$2\sin 2x - \cos 2x = \sqrt{5} \sin (2x + \alpha)$ となります。

ただし、$\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$, $\sin\alpha = \frac{-1}{\sqrt{5}}$

したがって、

$y = \sqrt{5} \sin (2x + \alpha) - 1$

ここで、画像の空欄を埋めます。

* キ = 2

* ク = 2x

* ケ = 1

* コ = √5

* サ = 1

* シス = -1

* ソ = 2

* セ = 5

3. 最終的な答え

* キ = 2

* ク = 2x （解答群②）

* ケ = 1

* コ = √5

* サ = 1

* シス = -1

* ソ = 2

* セ = 5

$$

\sin \alpha = \frac{-1}{\sqrt{5}}

$$

$$

\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}

$$