与えられた関数 $y = x \cos(2x)$ の導関数 $dy/dx$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = x \cos(2x)$ の導関数 $dy/dx$ を求める。

2. 解き方の手順

積の微分法則を用いる。積の微分法則とは、$u(x)$ と $v(x)$ の積の微分が $(uv)' = u'v + uv'$ で与えられるというものである。

この問題では、$u(x) = x$ および $v(x) = \cos(2x)$ とおく。

まず、$u(x)$ の微分を計算する。

$u'(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1$

次に、$v(x)$ の微分を計算する。

$v'(x) = \frac{d}{dx}(\cos(2x))$

ここで、合成関数の微分法則を用いる。$\frac{d}{dx} \cos(f(x)) = -\sin(f(x)) \cdot f'(x)$である。

この場合、$f(x) = 2x$ なので、$f'(x) = 2$ である。

したがって、

$v'(x) = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x)$

積の微分法則を用いて、$y = x \cos(2x)$ の微分を計算する。

$\frac{dy}{dx} = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

$\frac{dy}{dx} = (1) \cos(2x) + x(-2\sin(2x))$

$\frac{dy}{dx} = \cos(2x) - 2x\sin(2x)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \cos(2x) - 2x\sin(2x)$