放物線 $y = -2x^2 + 1$ 上の点 A(1, -1) における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = -2x^2 + 1$ 上の点 A(1, -1) における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた放物線の方程式を微分して、導関数を求める。

$y = -2x^2 + 1$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = -4x$

(2) 次に、点 A(1, -1) における接線の傾きを求める。

導関数に $x = 1$ を代入する。

$\frac{dy}{dx}|_{x=1} = -4(1) = -4$

したがって、接線の傾きは -4 である。

(3) 最後に、点 A(1, -1) を通り、傾きが -4 の直線の方程式を求める。

直線の方程式は $y - y_1 = m(x - x_1)$ で表される。

ここで、$(x_1, y_1) = (1, -1)$ であり、$m = -4$ であるから、

$y - (-1) = -4(x - 1)$

$y + 1 = -4x + 4$

$y = -4x + 3$

3. 最終的な答え

$y = -4x + 3$