2つの曲線 $C_1: y = 4x^3 + ax^2 + bx + 3$ と $C_2: y = x^2$ が点 $(1, 1)$ で共通接線を持つとき、$a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの曲線 $C_1: y = 4x^3 + ax^2 + bx + 3$ と $C_2: y = x^2$ が点 $(1, 1)$ で共通接線を持つとき、$a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2つの曲線が点 $(1, 1)$ を通ることから、$x = 1, y = 1$ をそれぞれの式に代入します。

$C_1$ について:

$1 = 4(1)^3 + a(1)^2 + b(1) + 3$

$1 = 4 + a + b + 3$

$a + b = -6$ ...(1)

$C_2$ について:

$1 = (1)^2$

$1 = 1$ （これは常に成り立つため、何も情報が得られません）

次に、それぞれの曲線を微分し、点 $(1, 1)$ における接線の傾きを求めます。

$C_1$ を微分すると:

$y' = 12x^2 + 2ax + b$

$x = 1$ を代入すると、点 $(1, 1)$ における接線の傾きは $12 + 2a + b$ となります。

$C_2$ を微分すると:

$y' = 2x$

$x = 1$ を代入すると、点 $(1, 1)$ における接線の傾きは $2(1) = 2$ となります。

2つの曲線が共通接線を持つので、点 $(1, 1)$ における接線の傾きは等しいはずです。したがって、

$12 + 2a + b = 2$

$2a + b = -10$ ...(2)

(2) - (1) より:

$(2a + b) - (a + b) = -10 - (-6)$

$a = -4$

(1) に $a = -4$ を代入すると:

$-4 + b = -6$

$b = -2$

3. 最終的な答え

$a = -4$

$b = -2$