関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ が $x = -1$ で極大値4をとり、$x = 1$ で極小値をとる。定数 $a, b, c$ の値を求め、極小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ が $x = -1$ で極大値4をとり、$x = 1$ で極小値をとる。定数 $a, b, c$ の値を求め、極小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分する。

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$

$x = -1$ で極大、$x = 1$ で極小となるので、$f'(-1) = 0$ かつ $f'(1) = 0$。

$f'(-1) = 3(-1)^2 + 2a(-1) + b = 3 - 2a + b = 0$

$f'(1) = 3(1)^2 + 2a(1) + b = 3 + 2a + b = 0$

この2つの式から $a, b$ を求める。

$3 - 2a + b = 0$ より、$b = 2a - 3$

$3 + 2a + b = 0$ に代入すると、$3 + 2a + 2a - 3 = 0$ より、$4a = 0$ よって $a = 0$

$b = 2a - 3$ より、$b = -3$

$a = 0, b = -3$ が求まったので、$f(x) = x^3 - 3x + c$ となる。

$x = -1$ で極大値4をとるので、$f(-1) = 4$。

$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + c = -1 + 3 + c = 2 + c = 4$

よって $c = 2$。

したがって、$f(x) = x^3 - 3x + 2$

$x = 1$ で極小値をとるので、$f(1)$ を計算する。

$f(1) = (1)^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$

3. 最終的な答え

$a = 0$

$b = -3$

$c = 2$

極小値: 0