与えられた数式の導出過程の一部が示されています。具体的には、2階微分 $d^2y/dx^2$ の計算、そして、$dy/dx$ の別の表現が与えられ、それらが一致することを示唆しています。問題は、与えられた数式を理解し、計算が正しいことを確認することです。

1. 問題の内容

与えられた数式の導出過程の一部が示されています。具体的には、2階微分 $d^2y/dx^2$ の計算、そして、$dy/dx$ の別の表現が与えられ、それらが一致することを示唆しています。問題は、与えられた数式を理解し、計算が正しいことを確認することです。

2. 解き方の手順

与えられた式を順に確認していきます。

まず、

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{9}{4} \cdot \frac{1 \cdot y - x \frac{dy}{dx}}{y^2}$

ここで、$\frac{dy}{dx} = \frac{9x}{4y}$ を代入します。すると、

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{9}{4} \cdot \frac{y - x \cdot \frac{9x}{4y}}{y^2} = \frac{9}{4} \cdot \frac{4y^2 - 9x^2}{4y^3}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{9(4y^2 - 9x^2)}{16y^3}$

次に、4y^2 - 9x^2 = -36という値を使って式を簡略化しているようです。これは問題文中に明示されていませんが、そう仮定します。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{9(-36)}{16y^3} = \frac{-324}{16y^3} = -\frac{81}{4y^3}$

最後に、

$\frac{dy}{dx} = \pm \frac{3x}{2\sqrt{x^2-4}}$

3. 最終的な答え

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{81}{4y^3}$

$\frac{dy}{dx} = \pm \frac{3x}{2\sqrt{x^2-4}}$

ただし、$4y^2-9x^2 = -36$ であることを仮定しました。